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Aufgaben zur elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Es werden zwei sechsseitige Würfel geworfen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 9 beträgt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 9 beträgt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner als 9 ist?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel eine ungerade Augenzahl zeigen?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Würfel die Augenzahl 6 zeigt?
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel dieselbe Augenzahl zeigen?

: Für diese Aufgabe wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Wochentag geboren zu werden, für alle Wochentage gleich ist.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte Personen am selben Wochentag geboren sind.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte Personen am Mittwoch geboren sind.

: Bei einem bestimmten Computerspiel gibt es zwei Spielmodi:
Modus 1: Man spielt ein einziges Spiel. Gewinnt man dieses, so erhält man eine Belohnung. Verliert man, so erhält man nichts.
Modus 2: Man spielt bis zu drei aufeinanderfolgende Spiele. Sobald man zwei Spiele gewonnen hat wird abgebrochen und man erhält drei Belohnungen. Sobald man zwei Spiele verloren hat wird ebenfalls abgebrochen und man erhält nichts.
a) Bei welchem Modus gewinnt man auf lange Sicht mehr Belohnungen pro Spiel, wenn man ein einzelnes Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,5 gewinnt? Begründe deine Entscheidung.
b) Ist der laut Aufgabe a) zu bevorzugende Spielmodus von der Wahrscheinlichkeit p abhängig, oder sollte man diesen immer auswählen? Begründe deine Entscheidung.

: Eine Maschine wird von zwei voneinander unabhängigen Systemen kontrolliert. System A meldet im Störfall eine Störung mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 %. System B meldet im Störfall eine Störung mit einer Wahrscheinlichkeit von 94 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Störfall mindestens ein System Alarm schlägt?

: Jemand trifft das Triple-20-Feld mit einem einzigen Dart mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,17. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei der nächsten Aufnahme (drei geworfene Darts) eine 180 erzielt, also mit allen drei Darts das Triple-20-Feld trifft? Gehe davon aus, dass die drei Würfe unabhängig voneinander sind (auch wenn dies nicht ganz der Realität entspricht, da die späteren Würfe blockiert werden könnten).

: Max und Moritz wollen ein Brettspiel spielen, für welches man einen Würfel benötigt. Dieser ist jedoch nicht aufzufinden. Max hat die Idee, fünf Münzen zu werfen und zu zählen, wie viele Münzen „Kopf“ zeigen. Diese Zahl liegt zwischen 0 und 5. Daher will Max zu dieser Anzahl 1 addieren, um dadurch den Würfel zu ersetzen. Gib an, ob dieser „Zufallsgenerator“ gleichwertig zu einem Würfel ist und begründe deine Entscheidung.

: Bei einem Spiel der vom österreichischen Fernsehsender ORF ausgestrahlten Sendung „Money Maker“ werden auf einem 3×3-Feld zufällig drei Wiener Philharmoniker versteckt. Zwei Spieler decken abwechselnd jeweils ein Feld auf. Jener Spieler, der die dritte Goldmünze aufdeckt, gewinnt. Hat bei diesem Spiel ein Spieler einen Vorteil (also eine Gewinnwahrscheinlichkeit größer als ½)?

: Damit ein Bauteil verkauft wird, muss es zuvor nacheinander drei Kontrollsysteme durchlaufen. System A findet ein defektes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %, System B mit 70 % und System C mit 90 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Bauteil von keinem Kontrollsystem entdeckt wird?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass System A keinen Fehler findet, aber System B das Bauteil aussortiert?

: In einem Topf befinden sich 8 Marillenknödel und 4 Zwetschkenknödel, welche optisch nicht unterscheidbar sind. Claudia nimmt sich zwei Knödel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens ein Zwetschkenknödel am Teller hat?

: [schwierig] In einer Mini-Packung Gummibärchen sind üblicherweise zehn Stück enthalten. Es gibt sechs verschiedene Geschmacksrichtungen, welche alle gleich häufig sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung alle sechs Geschmacksrichtungen vorkommen?

: In der ersten Klasse einer HTL erhalten 29 % aller Schüler ein „Nicht genügend“ in Mathematik und 7 % der Schüler erhalten in Deutsch ein „Nicht genügend“. 69 % der Schüler sind in beiden Fächern positiv.
a) Erstelle und vervollständige die Vierfeldertafel!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand der in Deutsch kein „Nicht genügend“ hat in Mathematik ein „Nicht genügend“ bekommt?
c) Sind „Nicht genügend“ in Mathematik und Deutsch unabhängige Ereignisse? Begründe!

: Herr Gruber installiert an seinem Wohnhaus eine Alarmanlage. Laut Hersteller wird bei 95 % aller Einbrüche ein Alarm ausgelöst. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag ein falscher Alarm ausgelöst wird (z. B. durch ein Tier oder durch den Wind) beträgt 0,2 %. Allgemein beträgt die tägliche Einbruchswahrscheinlichkeit in Herrn Grubers Wohngebiet 0,035 %.
a) Erstelle ein passendes Baumdiagramm.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag ein Alarm ausgelöst wird?
c) Herr Gruber sieht auf seinem Smartphone, dass ein Alarm ausgelöst wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um einen Einbruch?

: Valentin spielt gegen Anna und Benjamin Tischtennis. Es ist vereinbart, dass insgesamt drei Spiele gespielt werden, wobei sich Anna und Benjamin jeweils abwechseln. Valentin gilt als Sieger, wenn er beide Gegner besiegt hat bzw. anders formuliert, wenn er zwei aufeinanderfolgende Spiele gewinnt. Valentin schätzt, dass er Anna mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 Prozent und Benjamin mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{3}$ besiegt. Bei welcher Reihenfolge (ABA oder BAB) hätte er die größeren Siegeschancen?

: In einer Klasse befinden sich 28 Schüler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Schüler gibt, die denselben Geburtstag haben? Das Geburtsjahr spielt keine Rolle, und Schaltjahre werden nicht berücksichtigt (das Jahr hat also nur 365 Tage).

: In einer bestimmten HTL kommen 55 % der Schüler der 1. Klassen aus einem Gymnasium (die restlichen Schüler kommen aus der Neuen Mittelschule). Etwa 14 % der Schüler aus einem Gymnasium schaffen die 1. Klasse nicht. Insgesamt bestehen 28 % der Schüler nicht die 1. Klasse.
a) Stelle diese Information in einer Vierfeldertafel dar mit den Eigenschaftspaaren Gymnasium/Neue Mittelschule und schafft 1. Klasse/schafft 1. Klasse nicht. Vervollständige die Tabelle!
b) Clemens kommt aus einem Gymnasium. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die 1. Klasse schaffen wird?
c) Markus hat die 1. Klasse nicht geschafft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er aus der Neuen Mittelschule kommt?

: Es werden drei sechsseitige Würfel geworfen.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel 4 zeigen.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme der drei Würfel mindestens 17 beträgt.
c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Würfel die Augenzahl 6 zeigt.

: Bei einer Tombola gibt es 150 Lose. Davon sind 20 % Gewinne. Jemand kauft zwei Lose.
a) Erstelle ein passendes Baumdiagramm für diese Ziehungen.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Person mindestens einen Gewinn hat.

: Bei einem Kartenspiel mit 32 Karten werden zwei zufällige Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Herz-Karte zu ziehen (davon gibt es insgesamt 8 Stück)?

: Es werden zwei Münzen geworfen.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen „Kopf“ zeigen.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Münze „Zahl“ zeigt.

: In Wien sind täglich ca. 2 Mio. Menschen unterwegs (inkl. Pendler und Touristen). Herr Doppler kennt ca. 700 dieser 2 Mio. Menschen. Bei einer Fahrt durch Wien begegnet er einer bestimmten Anzahl $n$ an Menschen (welche zufällig aus diesen 2 Mio. Menschen ausgewählt werden). Er stellt sich die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mindestens eine dieser Personen kennt.
a) Wie groß ist für $n=500$ die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Person zu kennen?
b) Erstelle eine Funktion, welche jeder Anzahl $n$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet.
c) Ab welchem $n$ ist die Wahrscheinlichkeit erstmals größer als 50 %? Schätze zuerst und berechne anschließend exakt!
d) Zeichne den Funktionsgraphen! Um welchen Funktionstyp handelt es sich?

: Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem bestimmten Glücksspiel bei insgesamt fünf Versuchen mindestens einmal gewinnt, beträgt ca. 39,39 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei allen fünf Versuchen verliert?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man, wenn man nur ein einziges Mal teilnimmt?

: Ein Unternehmen produziert Schrauben an drei verschiedenen Standorten. An Standort A werden 60 % der Schrauben hergestellt, an Standort B sind es 25 % und an Standort C sind es 15 %. Je nach Standort sind folgende Anteile fehlerhaft:
  ▪  Standort A: 1,2 % der Schrauben sind fehlerhaft.
  ▪  Standort B: 1,8 % der Schrauben sind fehlerhaft.
  ▪  Standort C: 2,7 % der Schrauben sind fehlerhaft.
a) Wie viel Prozent der Gesamtproduktion sind fehlerhaft?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte fehlerhafte Schraube von Standort A stammt?

: Ein bestimmter Fußballtormann hält einen Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von 18 %. In einem besonders turbulenten Spiel werden drei Elfmeter auf sein Tor geschossen. Beschreibe in Worten, was durch den Term $1-0{,}82^3$ berechnet wird!

: Bei der Herstellung von Handtaschen kommt es zu drei typischen Fehlern, deren Wahrscheinlichkeiten jeweils in Klammer angegeben wurden: defekter Reißverschluss (3,2 %), fehlerhafte Naht (2,4 %), beschädigtes Leder (5,1 %). Die drei Fehler treten unabhängig voneinander auf.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufällig ausgewählten Handtasche keiner der drei Fehler auftritt.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufällig ausgewählten Handtasche genau einer der drei Fehler auftritt.

: Es wird der Zusammenhang zwischen dem in der Unterstufe besuchten Schultyp und dem erfolgreichen Abschluss der 1. Klasse einer HTL untersucht. Folgende Daten sind bekannt:
  ▪  Insgesamt wurden 111 Schüler untersucht.
  ▪  60 Schüler stammen aus einem Gymnasium.
  ▪  31 Schüler schafften die 1. Klasse der HTL nicht.
  ▪  10 Schüler stammen aus einem Gymnasium und schafften die 1. Klasse der HTL nicht.
a) Vervollständige die Vierfeldertafel, indem du die statistische Wahrscheinlichkeit in die einzelnen Felder schreibst. Verwende exakte Werte (gekürzte Brüche) und keine gerundeten Dezimalzahlen.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler, welcher zuvor die NMS besucht hat, die 1. Klasse der HTL schafft?
c) Ein bestimmter Schüler schafft die 1. Klasse der HTL nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt dieser Schüler aus einer NMS?
d) Überprüfe, ob die Ereignisse „stammt aus Gymnasium“ und „schafft 1. Klasse“ stochastisch unabhängig sind. Beschreibe das Ergebnis in einem vollständigen Satz!

: Beim „Mensch ärgere Dich nicht“ muss eine Sechs gewürfelt werden, um eine neue Figur ins Spiel zu bringen. Hat man gar keine Figur im Spiel, so hat man pro Runde drei Würfe, um die benötigte Sechs zu werfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit welcher in einer bestimmten Runde der benötigte Sechser geworfen wird.

: In Geographie werden in Pauls Klasse jede Unterrichtsstunde zufällig zwei verschiedene Schüler zur Stundenwiederholung aufgerufen. Es sind insgesamt 17 Schüler anwesend. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul an diesem Tag aufgerufen wird?

: In einem Topf befinden sich 10 rote, 15 blaue und 20 gelbe Kugeln. Es werden zwei zufällige Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen).
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine rote Kugel zu ziehen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gelbe Kugel zu ziehen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine gelbe und eine blaue Kugel zu ziehen?

: Um die Wirksamkeit eines neuen Medikaments zu testen, werden insgesamt 5000 erkrankte Menschen untersucht. 4000 Menschen erhielten das zu testende Medikament. Davon wurden 3183 Menschen gesund. Die anderen 1000 Personen erhielten ein Placebo. Von dieser Gruppe wurden 171 Menschen gesund.
a) Erstelle eine Vierfeldertafel.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der dieses Medikament erhält, gesund wird?
c) Herr Karner gehört zu den 5000 Testpersonen. Er wurde gesund. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das echte Medikament erhielt?