Führe eine Klassifizierung der Differentialgleichung $3y''+2x\cdot y'-\sin(5x)=0$ durch. Hier ist $y$ eine von $x$ abhängige Funktion. 1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung linear nichtlinear homogen inhomogen keine Aussage möglich konstante Koeffizienten keine konstanten Koeffizienten keine Aussage möglich gewöhnlich partiell

Erstelle eine beliebige gewöhnliche inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, welche nicht ausschließlich konstante Koeffizienten hat. Dabei soll $x$ eine von $t$ abhängige Funktion sein.

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $6 x\cdot y'- 3 y=0$.

Es ist die Differentialgleichung $\dot x+7 x\cdot \cos(t)=0$ mit der Nebenbedingung $x(1.7)=4.6$ gegeben. a) Bestimme die allgemeine Lösung! b) Bestimme die spezielle Lösung!

Die zeitliche Temperaturänderung eines Objektes ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung. Die Umgebungstemperatur beträgt für diese Aufgabe 20 °C a) Erstelle eine zur obigen Aussage passende Differentialgleichung, wobei $T(t)$ die Temperatur des Objekts in Abhängigkeit der Zeit $t$ ist. Bestimme anschließend die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. b) Zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt die Temperatur eines Metallstücks 610 °C. Nach 12 Minuten hat das Metallstück nur noch 92 °C. Ermittle die Temperaturfunktion $T(t)$ und gib den Lösungsweg an. c) Nach welcher Zeit ist die Temperatur des Metallstücks nur noch 1 % von der Umgebungstemperatur entfernt?

Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung $y' + a\cdot y^2 = 0$. Dabei ist $y(x)$ die Funktion und $a$ eine beliebige reelle Zahl. a) Weise nach, dass $y=\frac{1}{a\cdot x+c}$ die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. b) Bestimme die spezielle Lösung der Differentialgleichung $y' + 3 \cdot y^2 = 0$ mit der Nebenbedingung $y(5.2)=2.9$.

In einem Weingarten mit insgesamt 317 Weinreben breitet sich ein Schädling aus. Die Anzahl der wöchentlich neu befallenen Weinreben beträgt 7.3 % der noch nicht befallenen Pflanzen. Die Anzahl der nach $t$ Wochen befallenen Weinreiben wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben. a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Ausbreitung des Schädlings beschreibt. b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. c) Nach wie vielen Wochen sind 85 % aller Weinreben befallen, wenn zum Zeitpunkt $t=0$ bereits 15 Pflanzen befallen waren?

In einem Teich werden Fische ausgesetzt. Es wird geschätzt, dass maximal 980 Fische in diesem Teich leben können. Das Populationswachstum ist proportional zum bereits vorhandenen Fischbestand und zur Anzahl an noch verfügbaren Plätzen. Der aktuelle Fischbestand wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben. Erstelle eine Differentialgleichung, welche diesen Zusammenhang beschreibt.

Es ist die Differentialgleichung $6y'-5.6y=3x-23$ gegeben. a) Bestimme die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. b) Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. c) Bestimme die spezielle Lösung der ursprünglich gegebenen Differentialgleichung mit der Bedingung $y(4.4)=17.6$.

Für den radioaktiven Zerfall gilt die Differentialgleichung $-\lambda \cdot N= \frac{dN}{dt}$, wobei $\lambda >0 $ eine Konstante ist und $N(t)$ die Anzahl der zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atome angibt. a) Erkläre anhand mathematischer Argumente, wie man an dieser Differentialgleichung erkennen kann, dass die Anzahl an noch nicht zerfallenen Atomen mit zunehmender Zeit weniger wird. b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.

Ein Konferenzraum hat ein Volumen von 512 m³. Als die Lüftungsanlage zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird, beträgt CO2-Gehalt der Raumluft 1100 ppm. Von nun an werden pro Sekunde 2.5 m³ Raumluft abgesaugt und durch frische Außenluft (400 ppm CO2-Gehalt) ersetzt. Das gesamte CO2-Volumen, welches sich zum Zeitpunkt $t$ im Raum befindet, soll mit $V(t)$ bezeichnet werden. Dabei wird $t$ in Sekunden und $V$ in m³ gemessen. a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Änderung des CO2-Volumens beschreibt. b) Ermittle die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. c) Ermittle die spezielle Lösung dieser Differentialgleichung. d) Berechne, nach wie vielen Sekunden der CO2-Gehalt auf 800 ppm gesunken ist.

In Gewässern nimmt die Intensität des einfallenden Sonnenlichts mit zunehmender Tiefe ab. Die lokale Änderungsrate der Lichtintensität ist dabei proportional zur Lichtintensität selbst, wobei die Proportionalitätskonstante mit $k$ und die Lichtintensität unmittelbar unterhalb der Wasseroberfläche mit $I_0$ bezeichnet wird. Bestimme die Funktionsgleichung $I(x)$, welche die Intensität in Abhängigkeit von der Tiefe $x$ beschreibt.