Aufgaben zu Differentialgleichungen

Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu Differentialgleichungen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.

Inhaltsverzeichnis

1. Vermischte Aufgaben

#1179 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Führe eine Klassifizierung der Differentialgleichung $3y''+2x\cdot y'-\sin(5x)=0$ durch. Hier ist $y$ eine von $x$ abhängige Funktion.

#1180 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Erstelle eine beliebige gewöhnliche inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, welche nicht ausschließlich konstante Koeffizienten hat. Dabei soll $x$ eine von $t$ abhängige Funktion sein.

#1208 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Die zeitliche Temperaturänderung eines Objektes ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung. Die Umgebungstemperatur beträgt für diese Aufgabe 21 °C
a) Erstelle eine zur obigen Aussage passende Differentialgleichung, wobei $T(t)$ die Temperatur des Objekts in Abhängigkeit der Zeit $t$ ist. Bestimme anschließend die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
b) Zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt die Temperatur eines Metallstücks 510 °C. Nach 13 Minuten hat das Metallstück nur noch 96 °C. Ermittle die Temperaturfunktion $T(t)$ und gib den Lösungsweg an.
c) Nach welcher Zeit ist die Temperatur des Metallstücks nur noch 1 % von der Umgebungstemperatur entfernt?

#1211 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
In einem Weingarten mit insgesamt 453 Weinreben breitet sich ein Schädling aus. Die Anzahl der wöchentlich neu befallenen Weinreben beträgt 8.1 % der noch nicht befallenen Pflanzen. Die Anzahl der nach $t$ Wochen befallenen Weinreiben wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Ausbreitung des Schädlings beschreibt.
b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
c) Nach wie vielen Wochen sind 85 % aller Weinreben befallen, wenn zum Zeitpunkt $t=0$ bereits 15 Pflanzen befallen waren?

#1229 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist die Differentialgleichung $7y'-5.9y=2.6x-24$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
b) Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
c) Bestimme die spezielle Lösung der ursprünglich gegebenen Differentialgleichung mit der Bedingung $y(3.8)=12.8$.

#1283 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Ein Konferenzraum hat ein Volumen von 555 m³. Als die Lüftungsanlage zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird, beträgt CO2-Gehalt der Raumluft 1090 ppm. Von nun an werden pro Sekunde 2.7 m³ Raumluft abgesaugt und durch frische Außenluft (400 ppm CO2-Gehalt) ersetzt. Das gesamte CO2-Volumen, welches sich zum Zeitpunkt $t$ im Raum befindet, soll mit $V(t)$ bezeichnet werden. Dabei wird $t$ in Sekunden und $V$ in m³ gemessen.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Änderung des CO2-Volumens beschreibt.
b) Ermittle die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
c) Ermittle die spezielle Lösung dieser Differentialgleichung.
d) Berechne, nach wie vielen Sekunden der CO2-Gehalt auf 800 ppm gesunken ist.

#1347 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
In Gewässern nimmt die Intensität des einfallenden Sonnenlichts mit zunehmender Tiefe ab. Die lokale Änderungsrate der Lichtintensität ist dabei proportional zur Lichtintensität selbst, wobei die Proportionalitätskonstante mit $k$ und die Lichtintensität unmittelbar unterhalb der Wasseroberfläche mit $I_0$ bezeichnet wird. Bestimme die Funktionsgleichung $I(x)$, welche die Intensität in Abhängigkeit von der Tiefe $x$ beschreibt.
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