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Aufgaben zu Differentialgleichungen

Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu Differentialgleichungen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können außerdem bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden.

1. Vermischte Aufgaben

#1179 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Führe eine Klassifizierung der Differentialgleichung $3y''+2x\cdot y'-\sin(5x)=0$ durch. Hier ist $y$ eine von $x$ abhängige Funktion.

#1180 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erstelle eine beliebige gewöhnliche inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, welche nicht ausschließlich konstante Koeffizienten hat. Dabei soll $x$ eine von $t$ abhängige Funktion sein.
Ergebnis:

#1199 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $4 x\cdot y'- 7 y=0$ und gib einen vollständigen Lösungsweg an.
Allgemeine Lösung (inkl. Lösungsweg):

#1200 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Differentialgleichung $\dot x+3 x\cdot \cos(t)=0$ mit der Nebenbedingung $x(2.5)=2.7$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung und gib einen vollständigen Lösungsweg an!
Allgemeine Lösung (inkl. Lösungsweg):
b) Bestimme die spezielle Lösung und gib einen vollständigen Lösungsweg an!
Spezielle Lösung (inkl. Lösungsweg):

#1208 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die zeitliche Temperaturänderung eines Objektes ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung. Die Umgebungstemperatur beträgt für diese Aufgabe 21 °C
a) Erstelle eine zur obigen Aussage passende Differentialgleichung, wobei $T(t)$ die Temperatur des Objekts in Abhängigkeit der Zeit $t$ ist. Bestimme anschließend die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt die Temperatur eines Metallstücks 690 °C. Nach 14 Minuten hat das Metallstück nur noch 89 °C. Ermittle die Temperaturfunktion $T(t)$ und gib den Lösungsweg an.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
c) Nach welcher Zeit ist die Temperatur des Metallstücks nur noch 1 % von der Umgebungstemperatur entfernt?
Ergebnis: [1] min

#1209 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung $y' + a\cdot y^2 = 0$. Dabei ist $y(x)$ die Funktion und $a$ eine beliebige reelle Zahl.
a) Weise durch handschriftliche Rechnung nach, dass $y=\frac{1}{a\cdot x+c}$ die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Nachweis:
b) Bestimme durch handschriftliche Rechnung die spezielle Lösung der Differentialgleichung $y' + 1.5 \cdot y^2 = 0$ mit der Nebenbedingung $y(4.5)=2.6$. Gib einen vollständigen Lösungsweg an.
Spezielle Lösung (inkl. Lösungsweg):

#1211 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Weingarten mit insgesamt 471 Weinreben breitet sich ein Schädling aus. Die Anzahl der wöchentlich neu befallenen Weinreben beträgt 8.7 % der noch nicht befallenen Pflanzen. Die Anzahl der nach $t$ Wochen befallenen Weinreiben wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Ausbreitung des Schädlings beschreibt.
Differentialgleichung:
b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung und gib einen handschriftlichen Lösungsweg an.
Allgemeine Lösung (inkl. Lösungsweg):
c) Nach wie vielen Wochen sind 85 % aller Weinreben befallen, wenn zum Zeitpunkt $t=0$ bereits 16 Pflanzen befallen waren?
Ergebnis: [1] Wochen

#1212 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Teich werden Fische ausgesetzt. Es wird geschätzt, dass maximal 960 Fische in diesem Teich leben können. Das Populationswachstum ist proportional zum bereits vorhandenen Fischbestand und zur Anzahl an noch verfügbaren Plätzen. Der aktuelle Fischbestand wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben. Erstelle eine Differentialgleichung, welche diesen Zusammenhang beschreibt.
Lösung:

#1229 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Differentialgleichung $3y'-5.6y=3.2x-26$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Ergebnis:
b) Bestimme durch handschriftliche Rechnung eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
c) Bestimme durch handschriftliche Rechnung die spezielle Lösung der ursprünglich gegebenen Differentialgleichung mit der Bedingung $y(3.2)=19.1$.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

#1233 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für den radioaktiven Zerfall gilt die Differentialgleichung $-\lambda \cdot N= \frac{dN}{dt}$, wobei $\lambda >0 $ eine Konstante ist und $N(t)$ die Anzahl der zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atome angibt.
a) Erkläre anhand mathematischer Argumente, wie man an dieser Differentialgleichung erkennen kann, dass die Anzahl an noch nicht zerfallenen Atomen mit zunehmender Zeit weniger wird.

0/1000 Zeichen
b) Berechne handschriftlich die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
Lösung (inkl. Lösungsweg):

#1283 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ein Konferenzraum hat ein Volumen von 540 m³. Als die Lüftungsanlage zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird, beträgt CO2-Gehalt der Raumluft 1150 ppm. Von nun an werden pro Sekunde 2.8 m³ Raumluft abgesaugt und durch frische Außenluft (400 ppm CO2-Gehalt) ersetzt. Das gesamte CO2-Volumen, welches sich zum Zeitpunkt $t$ im Raum befindet, soll mit $V(t)$ bezeichnet werden. Dabei wird $t$ in Sekunden und $V$ in m³ gemessen.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Änderung des CO2-Volumens beschreibt.
Differentialgleichung:
b) Ermittle die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
Lösung:
c) Ermittle die spezielle Lösung dieser Differentialgleichung.
Lösung:
d) Berechne, nach wie vielen Sekunden der CO2-Gehalt auf 800 ppm gesunken ist.
Dauer: [1] s

#1347 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In Gewässern nimmt die Intensität des einfallenden Sonnenlichts mit zunehmender Tiefe ab. Die lokale Änderungsrate der Lichtintensität ist dabei proportional zur Lichtintensität selbst, wobei die Proportionalitätskonstante mit $k$ und die Lichtintensität unmittelbar unterhalb der Wasseroberfläche mit $I_0$ bezeichnet wird. Bestimme die Funktionsgleichung $I(x)$, welche die Intensität in Abhängigkeit von der Tiefe $x$ beschreibt.
Funktionsgleichung (inkl. Lösungsweg):
Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).
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