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Unterjährige Zinseszinsen
Im vorherigen Kapitel betrug die Zinsperiode immer ein Jahr, d. h. es wurde einmal pro Jahr verzinst. Bei der unterjährigen Verzinsung wird das Kapital $m$-mal pro Jahr verzinst, wobei diese $m$ Zeitpunkte gleichmäßig über das Jahr verteilt sind. Typische Zinsperioden sind nachfolgend aufgelistet:
Allgemein verwendet man bei $m$ Zinsperioden pro Jahr für den zugehörigen unterjährigen Zinssatz die Bezeichnung $i_m$.
| Zinsperiode | Symbol | Abkürzung |
|---|---|---|
| Semester (Halbjahr) | $i_2$ | p. s. |
| Quartal (Vierteljahr) | $i_4$ | p. q. |
| Monat | $i_{12}$ | p. m. |
Effektiver Jahreszinssatz
Der effektive Jahreszinssatz $i$ bzw. $i_\mathrm{eff}$ ist jener Zinssatz, bei welchem bei jährlicher Verzinsung dasselbe Ergebnis resultieren würde, wie bei unterjähriger Verzinsung mit dem unterjährigen Zinssatz $i_m$. Es muss daher folgende Gleichung erfüllt sein:
\begin{equation*}
1+i=(1+i_m)^m
\end{equation*}
Durch Umformen erhält man je nach gesuchter Größe folgende Formeln:
\begin{equation*}
i=(1+i_m)^m-1\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm}i_m=\sqrt[m]{1+i\,}-1
\end{equation*}
Beispiel 1
Der effektive Jahreszinssatz einer quartalsmäßigen Verzinsung beträgt 3 %. Es soll der zugehörige unterjährige Zinssatz $i_4$ berechnet werden.
Durch Einsetzen in die obige Formel erhält man $i_4=\sqrt[4]{1{,}03\,}-1\approx 0{,}00741$. Somit beträgt der Quartalszinssatz ungefähr 0,741 %.
Nomineller Zinssatz
Gelegentlich wird auch der sogenannte nominelle Jahreszinssatz $i_{\text{nom}}$ verwendet. Hier gelten die folgenden Zusammenhänge:
\begin{equation*}
i_{\text{nom}}=m\cdot i_m\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm}i_m=\frac{i_{\text{nom}}}{m}
\end{equation*}
Beispiel 2
Ein Kapital wird monatlich verzinst, wobei der nominelle Jahreszinssatz 4,2 % beträgt. Es soll der zugehörige Monatszinssatz ermittelt werden.
Gemäß der obigen Formel erhält man als Monatszinssatz $i_{12}=\frac{4,2\,\%}{12}=0{,}35\,\%$.
Endwert berechnen
Für den Endwert eines unterjährig verzinsten Kapitals gilt eine ähnliche Formel wie bei den ganzjährigen Zinseszinsen:
\begin{equation*}
K_n=K_0\cdot (i+i_m)^{m\cdot n}
\end{equation*}
Hier ist $K_n$ das Kapital nach $n$ Jahren (der Endwert), $K_0$ der Barwert, $m$ die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr, $n$ die Verzinsungsdauer (in Jahren) und $i_m$ der unterjährige Zinssatz.
Beispiel 3
Ein Kapital von 50 000 € soll 10 Jahre lang bei einem nominellen Jahreszinssatz von 2 % und quartalsmäßiger Verzinsung angelegt werden. Es soll der Endwert berechnet werden. Es soll außerdem der effektive Jahreszinssatz ermittelt werden.
Zunächst wird der Quartalszinssatz ermittelt. Dieser beträgt $\frac{2\,\%}{4}=0{,}5\,\%$. Durch Einsetzen in die obige Formel erhält man:
\begin{equation}
K_{10}=50\,000\cdot \left(1+0{,}005\right)^{4\cdot 10}\approx 61\,039{,}71\,€
\end{equation}
Der Endwert beträgt somit ca. 61 039,71 €. Wegen $(1+0{,}005)^4\approx 1{,}02015$ beträgt der effektive Jahreszinssatz ca. 2,015 %.
Äquivalente Zinssätze
In diesem Kapitel geht es darum, einen unterjährigen Zinssatz $i_{m_1}$, dessen Anzahl an jährlichen Zinsperioden $m_1$ beträgt in einen unterjährigen Zinssatz $i_{m_2}$ umzurechnen, dessen Anzahl an jährlichen Zinsperioden $m_2$ ist. Beide Verzinsungen sollen denselben Endwert liefern.
Herleitung
Da beide Endwerte gleich sein sollen, kann man als Ansatz die folgende Gleichung verwenden:
\begin{equation}
K_0\cdot (1+i_{m_1})^{m_1\cdot n}=K_0\cdot (1+i_{m_2})^{m_2\cdot n}
\end{equation}
Durch Kürzen von $K_0$ und Anwenden der $n$-ten Wurzel erhält man
\begin{equation}
(1+i_{m_1})^{m_1}=(1+i_{m_2})^{m_2}.
\end{equation}
Eine weitere Umformung ergibt schließlich
\begin{equation}
i_{m_2}=\sqrt[m_2]{(1+i_{m_1})^{m_1}}-1.
\end{equation}
Die Formel zur Umrechnung des Zinssatzes $i_{m_1}$ in den äquivalenten Zinssatz $i_{m_2}$ lautet daher folgendermaßen:
\begin{equation*}
i_{m_2}=\sqrt[m_2]{(1+i_{m_1})^{m_1}}-1
\end{equation*}
Beispiel 4
Es soll der Semesterzinssatz $i_2=1{,}6$ % in den äquivalenten Monatszinssatz $i_{12}$ umgerechnet werden.
Hierfür wird in die obige Formel $m_1=2$ und $m_2=12$ eingesetzt:
\begin{equation}
i_{12}=\sqrt[12]{(1+0{,}016)^2}-1\approx 0{,}00265
\end{equation}
Der zu $i_2=1{,}6$ % äquivalente Monatszinssatz $i_{12}$ beträgt also ca 0,265 %.
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