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Stetige Verzinsung
Die stetige Verzinsung stellt einen Spezialfall der unterjährigen Verzinsung dar. Hier stellt man sich vor, dass die Anzahl an jährlichen Verzinsungen gegen unendlich geht, also $m\to \infty$. Es wird anschließend unter Verwendung der Formel für die unterjährige Verzinsung eine Formel für die stetige Verzinsung hergeleitet:
Herleitung
Als Ansatz wird die Endwertformel in folgender Form verwendet:
\begin{equation}
K_n=K_0\cdot \left(\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^m\right)^n
\end{equation}
Da der Ausdruck $\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{\infty}\right)^\infty\!$ wenig Sinn ergibt, benötigt man einen mathematischen Satz, der zwar schwierig zu beweisen ist, jedoch durch Einsetzen großer Zahlen in den Taschenrechner quasi überprüft werden kann. Demnach gilt für beliebige reelle Zahlen $x\in \mathbb{R}$ für $n\to \infty$ der folgende Zusammenhang:
\begin{equation}
\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^n\to e^x
\end{equation}
Dies hat dieselbe Struktur wie der Ausdruck $\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^m$ im obigen Ansatz. Man erhält somit folgende Formel:
\begin{equation}
K_n=K_0\cdot \left(e^{i_{\text{nom}}}\right)^n=K_0\cdot e^{i_{\text{nom}}\cdot n}
\end{equation}
Die Formel für die Berechnung des Endwerts bei stetiger Verzinsung mit nominellem Zinssatz $i_{\text{nom}}$ und einer Dauer von $n$ Jahren lautet:
\begin{equation*}
K_n=K_0\cdot e^{i_{\text{nom}}\cdot n}
\end{equation*}
Der große Vorteil dieser Methode ist die äußerst einfache Anwendbarkeit der Formel (auch später in Hinblick auf die Differential- und Integralrechnung). Auch wenn sie nicht exakt mit der realen Verzinsung übereinstimmt, wird sie daher oftmals als Modell in mathematischen Optimierungsprozessen verwendet. Durch seine Verwendung bei der stetigen Verzinsung erhält der sonst eher nebensächlich erscheinende nominelle Zinssatz ebenfalls eine gewisse Bedeutung.
Häufig wird für den Ausdruck $e^{i_{\text{nom}}}$ auch das Symbol $i_\infty$ verwendet und vom sogenannten stetigen Zinssatz gesprochen. Die Formel für den Endwert lautet dann folgendermaßen:
\begin{equation*}
K_n=K_0\cdot i_\infty^{\, n}
\end{equation*}
Beispiel 1
Ein Kapital von 50 000 € soll 10 Jahre lang bei einem nominellen Jahreszinssatz von 2 % stetig verzinst werden. Wie groß ist der Endwert?
\begin{equation}
K_{10}=50\,000\cdot e^{0{,}02\cdot 10}\approx 61\,070{,}14\,€
\end{equation}
Vergleicht man das Ergebnis mit dem Beispiel zur unterjährigen Verzinsung, so erkennt man Abweichungen von ca. 30 €. Dies ist jedoch für die meisten Optimierungs- und Entscheidungsprozesse akzeptabel.
Der Endwert der stetigen Verzinsung ist im Vergleich zu jeder anderen Zinsperiode immer am höchsten.
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