Allgemeine Schwingungsfunktion

Die Sinusfunktion kann verwendet werden, um eine Vielzahl von Vorgängen zu beschreiben, welche periodisch ablaufen:

• Pendel (und andere schwingende Objekte)
• Wechselstrom, Wechselspannung
• Tageslänge im Laufe des Jahres
• Koordinaten eines Objektes, das sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt

Die dafür benötigte allgemeine Schwingungsfunktion hat folgende Gestalt: $$g(t)=A\cdot \sin\left( \omega \cdot t + \varphi \right)+d$$ Da bei Schwingungsprozessen häufig die Zeit die unabhängige Variable ist, wird als unabhängige Variable $t$ anstelle von $x$ verwendet. Außerdem wurde die Funktion nicht $f$ genannt, da die Variable $f$ in diesem Zusammenhang häufig für die Frequenz verwendet wird. Die Bedeutungen der vorkommenden Parameter werden in den folgenden Abschnitten erklärt. Die Amplitude $A$ gibt die maximale Entfernung von der Ruhelage an, also jener Position, um welche das betrachtete Objekt schwingt. Falls die Funktion keine vertikale Verschiebung besitzt ($d=0$), kann die Amplitude abgelesen werden, indem man den $y$-Wert der Hochpunkte ermittelt (siehe nachfolgende Abbildung). Falls die Funktion jedoch vertikal verschoben wurde ($d\neq 0$), so muss der vertikale Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkten ermittelt und durch 2 geteilt werden (siehe nachfolgende Abbildung). Es gilt also die Formel $A=\frac{\mathrm{vertikaler~Abstand}}{2}$. Die Schwingungsdauer $T$ entspricht jener Zeit, die vergeht, bis eine vollständige Schwingung beendet ist. Sie kann ermittelt werden, indem man den horizontalen Abstand zweier Hochpunkte (oder Tiefpunkte) misst. Achtung: Man kann auch Nullstellen verwenden, jedoch muss man hier beachten, dass es nach einer halben Schwingung ebenfalls eine Nullstelle gibt (man muss beim Messen also eine Nullstelle überspringen). Die Verwendung von Nullstellen ist außerdem nur dann möglich, wenn die Funktion keine vertikale Verschiebung $d$ hat. Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Schwingungen pro Zeiteinheit abgeschlossen sind. Sie ist der Kehrwert der Periodendauer $T$, also $f=\tfrac{1}{T}$. Die Kreisfrequenz gibt an, welcher Winkel pro Zeiteinheit überstrichen wird. Da eine volle Schwingung einem Winkel von $2\pi$ entspricht, besteht zwischen Frequenz und Kreisfrequenz folgender Zusammenhang: $\omega = 2\pi\cdot f$. Eine häufig verwendete Kombination der beiden oben genannten Formeln ist $\omega = \frac{2\pi}{T}$, da man hiermit $\omega$ für die Funktionsgleichung berechnen kann, indem man die Schwingungsdauer $T$ verwendet (welche häufig am leichtesten bzw. genauesten abgelesen werden kann). Die Phasenverschiebung $\varphi$ (auch Nullphasenwinkel genannt) wird verwendet, um den Funktionsgraphen horizontal zu verschieben. Dies ist notwendig, wenn er sich zum Zeitpunkt $t=0$ nicht in Ruhelage befinden soll. Für $\varphi>0$ handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts (da in der Grundformel bereits ein Minus steht). Man erhält $\varphi$ durch folgende Formel: $$\varphi=-\omega\cdot t_0$$ Dabei ist $t_0$ jener horizontale Abstand, um welchen der Funktionsgraph im Vergleich zur verwendeten Winkelfunktion verschoben wurde. Man kann anstelle des Sinus auch den Kosinus verwenden. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn sich das Objekt zum Zeitpunkt $t=0$ ganz oben (am sogenannten oberen Totpunkt) befindet. Befindet es sich ganz unten (am unteren Totpunkt), so verwendet man am besten ebenfalls den Kosinus in Kombination mit einer negativen Amplitude. Durch den Parameter $d$ kann der Funktionsgraph vertikal verschoben werden.

Beispiel 1

Es soll eine Funktionsgleichung bestimmt werden, die den folgenden Funktionsgraphen beschreibt. Sofort ablesen kann man $d=1$, da die Ruhelage der Schwingung um 1 nach oben verschoben ist. Die Amplitude entspricht der halben vertikalen Differenz zwischen höchstem und tiefstem Punkt, also $A=3$. Sollte der Parameter $d$ nicht so leicht ablesbar sein, so könnte man auch vom Funktionswert des höchsten Punktes die Amplitude abziehen. Die Schwingungsdauer erhält man, indem man den horizontalen Abstand zweier Hochpunkte (oder Tiefpunkte) misst. Diese beträgt $T=2{,}5$. Somit erhält man für die Kreisfrequent folgenden Wert: $$\omega = \frac{2\pi}{2{,}5} \approx 2{,}513$$ Möchte man die positive Sinusfunktion verwenden, so misst man ab, um wie viel der Punkt $A$ nach rechts verschoben ist (bei einer positiven Kosinusfunktion müsste man den Punkt $B$ messen). Man erhält $t_0=0{,}5$ und somit $\varphi = -\omega \cdot t_0 \approx -1{,}257$. Daher lautet die Funktionsgleichung folgendermaßen: $$g(t)=3\cdot \sin\left(2{,}513\cdot t- 1{,}257 \right)+1$$

Beispiel 2

Ein ruhendes Federpendel (auf dieser externen Website sieht man, was das ist), dessen Masse 70 cm über dem Boden hängt, wird um 10 cm nach unten gezogen und zum Zeitpunkt $t=0$ losgelassen. Es schwingt anschließend mit einer Periodendauer von 1,6 s auf und ab. Es soll eine Funktionsgleichung erstellt werden, welche die Höhe (in Zentimetern) des Pendels über dem Boden in Abhängigkeit der Zeit (in Sekunden) beschreibt. Die Kreisfrequenz ist $\omega=\frac{2\pi}{1{,}6} \approx 3{,}927$. Alle anderen Werte können direkt aus der Angabe übernommen werden. Da sich die Pendelmasse zu Beginn am Tiefpunkt der Schwingung befindet, ist die Verwendung des negativen Kosinus sinnvoll. Dadurch fällt die Phasenverschiebung $\varphi$ weg. Insgesamt erhält man folgende Funktionsgleichung: \begin{equation} h(t)=-10\cdot \cos(3{,}927\cdot t)+70 \end{equation} Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Loslassen (in Sekunden) und $h(t)$ die Höhe des Pendels über dem Boden (in Zentimetern).

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