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Sinussatz
Einer der zentralen Sätze zur Bestimmung fehlender Größen eines allgemeinen Dreiecks ist der sogenannte Sinussatz. Man benötigt dafür eine Seitenlänge und den gegenüberliegenden Winkel sowie einen weiteren Winkel bzw. eine weitere Seitenlänge.
Der Sinussatz lauter folgendermaßen:
\begin{equation*}
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}
\end{equation*}
Herleitung
Bei der Herleitung müssen drei verschiedene Fälle untersucht werden:
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1. Fall: Falls die Höhe $h_c$ im Inneren des Dreiecks liegt, so teilt sie dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke, für welche Folgendes gilt:
\begin{equation}
\sin(\alpha)=\frac{h_c}{b}~~\text{und}~~\sin(\beta)=\frac{h_c}{a}
\end{equation}
Die untenstehende Abbildung veranschaulicht diesen Sachverhalt.
Durch Umformen nach $h_c$ und anschließendes Gleichsetzen erhält man $\sin(\alpha)\cdot b=\sin(\beta)\cdot a$, was auf den oben genannten Sinussatz führt.
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2. Fall: Ist $\alpha>90^\circ$, dann liegt die Höhe $h_c$ außerhalb des Dreiecks. Man erhält für die beiden rechtwinkligen Dreiecke folgende Zusammenhänge:
\begin{equation}
\sin(\alpha')=\frac{h_c}{b}~~\text{und}~~\sin(\beta)=\frac{h_c}{a}
\end{equation}
Auch hier soll folgende Abbildung zur besseren Nachvollziehbarkeit beitragen:
Da $\alpha'$ der Supplementärwinkel von $\alpha$ ist, gilt $\alpha'=180^\circ-\alpha$. Es gilt außerdem allgemein $\sin(180^\circ-x)=\sin(x)$, was man auch mit dem Taschenrechner für beliebige Winkel überprüfen kann. Somit erhält man \begin{equation} \sin(\alpha')=\sin(180\,^\circ-\alpha)=\sin(\alpha). \end{equation} Ab hier erfolgt die Herleitung des Sinussatzes analog zum 1. Fall.
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3. Fall: Im rechtwinkligen Dreieck gilt folgende Eigenschaft:
\begin{equation}
\sin (\beta)=\frac{b}{a}
\end{equation}
Wenn $\alpha$ ein rechter Winkel ist, gilt außerdem $\sin(\alpha)=1$. Somit kann man auf der linken Seite durch $\sin(\alpha)$ dividieren, ohne den Term zu verändern: \begin{equation} \frac{\sin (\beta)}{\sin (\alpha)}=\frac{b}{a} \end{equation} Diese Gleichung ist äquivalent zum Sinussatz. Die anderen Teile des Sinussatzes erhält man durch Verwenden einer anderen Höhe anstelle von $h_c$.
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