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Kosinussatz
Der Kosinussatz wird ebenfalls zur Bestimmung fehlender Größen eines allgemeinen Dreiecks verwendet. Es gibt hier folgende drei Formulierungen:
\begin{align*}
a^2 &=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)\\
b^2 &=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)\\
c^2 &=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)\\
\end{align*}
Diese Formeln enthalten alle drei Seitenlängen und jeweils einen Winkel. Man verwendet sie hauptsächlich, wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind, um einen Winkel zu berechnen, oder wenn zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, um die gegenüberliegende Seitenlänge zu berechnen.
Herleitung
Bei der Herleitung des Kosinussatzes muss man ebenfalls drei Fälle gesondert untersuchen. Es werden hier jeweils dieselben Abbildungen wie beim Sinussatz verwendet.
- 1. Fall: Falls $\alpha$ ein spitzer Winkel ist, erhält man folgende drei Zusammenhänge: \begin{equation} \cos(\alpha)=\tfrac{c_1}{b}\Leftrightarrow c_1=b\cdot \cos(\alpha) \end{equation} \begin{equation} c_1^2+h_c^2=b^2\Leftrightarrow h_c^2=b^2-c_1^2=b^2-b^2\cdot \cos^2(\alpha) \end{equation} \begin{equation} c_2=c-c_1=c-b\cdot \cos(\alpha) \end{equation} Verwendet man diese Zusammenhänge, so erhält man letztendlich \begin{eqnarray} a^2 & = & h_c^2+c_2^2\\ a^2 & = & b^2-b^2\cdot \cos^2(\alpha)+(c-b\cdot \cos(\alpha))\\ a^2 & = & b^2-b^2\cdot \cos^2(\alpha)+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) +b^2\cdot \cos^2(\alpha)\\ a^2 & = & b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha) \end{eqnarray}
- 2. Fall: Wenn es sich bei $\alpha$ um einen stumpfen Winkel handelt, erhält man die beiden unten beschriebenen Zusammenhänge. Es wird dabei die allgemeingültige Eigenschaft $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos (\alpha)$ des Kosinus verwendet, welche man mit dem Taschenrechner für beliebige Winkel überprüfen kann. \begin{equation} \cos(180\,^\circ-\alpha)=\tfrac{x}{b} \Leftrightarrow x=b\cdot \cos(180\,^\circ-\alpha)=-b\cdot\cos(\alpha) \end{equation} \begin{equation} h_c^2=b^2-x^2=b^2-(-b\cdot\cos(\alpha))^2=b^2-b^2\cdot \cos^2(\alpha) \end{equation} Daraus folgt schließlich \begin{eqnarray} a^2 &=& h_c^2+(c+x)^2 \\ a^2 &=& b^2-b^2\cdot \cos^2(\alpha)+(c-b\cdot \cos(\alpha))^2\\ a^2 &=& b^2-b^2\cdot \cos^2(\alpha)+ c^2 -2bc\cdot \cos(\alpha)+b^2\cdot \cos^2(\alpha)\\ a^2 & = & b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha) \end{eqnarray}
- 3. Fall: Wenn $\alpha$ ein rechter Winkel ist, gilt der Satz des Pythagoras, also $a^2=b^2+c^2$. Wegen $\cos(90^\circ)=0$ gilt, ändert sich jedoch auch nichts, wenn man auf der rechten Seite den Term $2bc\cdot \cos(\alpha)$ subtrahiert, da dieser den Wert 0 hat.
Wie bereits der 3. Fall der obigen Herleitung verdeutlicht hat, ist der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für allgemeine Dreiecke.
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