Grundlagen

Im Vergleich zu den speziellen Dreiecken (rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck) benötigt man beim allgemeinen Dreieck drei unabhängige Angaben, um alle anderen Größen berechnen zu können. Zusätzlich wird die Berechnung der fehlenden Größen dadurch erschwert, dass viele der bisher verwendeten Formeln ihre Gültigkeit verlieren. Beispielsweise gelten die Winkelfunktionen und der Satz von Pythagoras nur im rechtwinkligen Dreieck. In diesem Kapitel werden alle grundlegenden Eigenschaften des allgemeinen Dreiecks sowie die weiterhin gültigen Formeln erläutert. Die in den Formeln vorkommenden Variablen beziehen sich dabei auf folgende Abbildung: Es gelten die folgenden Formeln:

• Winkelsumme: $\alpha+\beta+\gamma=180\,^\circ$
• Umfang: $u=a+b+c$
• Flächenformeln: $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$

Außerdem gilt die sogenannte Heronsche Flächenformel (benannt nach Heron von Alexandria): \begin{equation*} A=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}~~\text{mit}~~s=\tfrac{a+b+c}{2} \end{equation*} Die Dreiecksungleichung besagt, dass die längste Seite kürzer sein muss als die Summe der beiden anderen Seiten. Ansonsten kann das Dreieck nicht konstruiert werden. Die drei Höhen des Dreiecks schneiden einander in einem gemeinsamen Punkt, dem sogenannten Höhenschnittpunkt (siehe Punkt H in der obigen Abbildung). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie die gleiche Form haben. Konkret bedeutet dies, dass sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung zu deckungsgleichen Figuren gemacht werden können. Die Kongruenzsätze besagen, dass ein Dreieck in folgenden vier Fällen eindeutig bestimmt ist:

• SSS-Satz: Alle drei Seitenlängen des Dreiecks sind bekannt.
• SWS-Satz: Zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel sind bekannt.
• WSW-Satz: Eine Seitenlänge und die beiden angrenzenden Winkel sind bekannt.
• SSW-Satz: Zwei Seitenlängen und der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegende Winkel sind bekannt.

Die nachfolgenden Abbildungen zeigen, warum es beim SSW-Satz wichtig ist, dass der bekannte Winkel der längeren Seite gegenüberliegt. Da die Seite $a$ kürzer als die Seite $b$ ist, gibt es zwei Möglichkeiten, sie mit dem Zirkel abzuschlagen. Die fehlende Seite $c$ ist daher nicht eindeutig bestimmt. Befindet sich gegenüber des Winkels jedoch die längere Seite, so kann diese nur nach rechts abgeschlagen werden und somit ist das Dreieck eindeutig bestimmt. Durch die Angabe von drei Winkeln ist ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt. Die vier Dreiecke der folgenden Abbildung haben alle dieselben Winkel, jedoch unterschiedliche Seitenlängen.

Deine Nachricht ist zu lang. Sie darf maximal 1000 Zeichen enthalten.

Spamschutz: Bitte gib den Code 0613 rückwärts in das folgende Textfeld ein.

Klicken Sie auf den untenstehenden Button, um Ihre Nachricht abzusenden.

Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?