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Verteilungsfunktion
Wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt auch bei der Normalverteilung, dass der Funktionswert $F(x)$ der Verteilungsfunktion $F$ der Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ entspricht, also jener Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ kleiner oder gleich dem Wert $x$ ist. Der zugehörige Funktionsgraph sieht folgendermaßen aus:

Wahrscheinlichkeiten ablesen
In der Verteilungsfunktion entsprechen Wahrscheinlichkeiten immer vertikalen Entfernungen.
  • Die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ entspricht dem Funktionswert $F(x)$ der Verteilungsfunktion, also der vertikalen Entfernung zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse.
  • Die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq x)$ entspricht dem Wert $1-F(x)$, also der vertikalen Entfernung zwischen Funktionsgraph und 100-%-Linie.
  • Die Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \leq X\leq x_2)$ hat den Wert $F(x_2)- F(x_1)$. Dies entspricht der vertikalen Entfernung zwischen den beiden Punkten des Funktionsgraphen.
Beispiel 1
Nachfolgend ist die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable abgebildet. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq 2{,}2)$, $P(X\geq 3)$ und $P(2{,}4\leq X\leq 2{,}8)$ möglichst genau abgelesen werden.

Die für die Lösung dieser Aufgabe relevanten Strecken wurden bereits in der obigen Grafik eingezeichnet. Liest man deren Länge möglichst exakt ab, so erhält man folgende Ergebnisse:
  • $P(X\leq 2{,}2)\approx 34\,\%$
  • $P(X\geq 3)\approx 24\,\%$
  • $P(2{,}4\leq X\leq 2{,}8) \approx 22\,\%$
Aufgabe 1
Löse die folgenden Aufgaben: 6@normalverteilung, 7@normalverteilung
μ und σ ablesen
Aus dem Graphen der Verteilungsfunktion kann man sowohl den Erwartungswert $\mu$ als auch die Standardabweichung $\sigma$ ablesen.

  • Erwartungswert: Betrachtet man die Dichtefunktion der Normalverteilung, so erkennt man, dass der Graph symmetrisch um den Erwartungswert ist. Das bedeutet, dass 50 % links davon liegen (und 50 % rechts davon liegen). Deshalb befindet sich der Erwartungswert bei jenem $x$-Wert der Verteilungsfunktion, für welchen $F(x)=0{,}5$ gilt.
  • Standardabweichung: Aus dem Kapitel Sigma-Umgebung ist bekannt, dass 68,27 % im Intervall $[\mu-\sigma;~\mu+\sigma]$ liegen. Somit liegen 31,73 % außerhalb, wobei jeweils die Hälfte, also 15,865 %, links bzw. rechts des Intervalls liegen. Die Intervallgrenzen befinden sich daher bei jenen $x$-Werten der Verteilungsfunktion, für die $F(x)=0{,}15865$ bzw. $F(x)=0{,}84135$ gilt. Die zweite Zahl erhält man durch $100\,\%-15{,}865\,\%$, da immer jener Anteil verwendet werden muss, der kleiner als die entsprechende Grenze ist.
    In der Praxis ist es natürlich völlig ausreichend, wenn man auf der vertikalen Achse 16 % bzw. 84 % verwendet.
Aufgabe 2
Löse die folgende Aufgabe: 8@normalverteilung
Aufgabe 3
Ermittle die Standardabweichung der Normalverteilung aus Beispiel 1 dieses Kapitels.
Lösung: ausklappen
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