Kurse
Weitere Eigenschaften
Obwohl sich bereits die Gelehrten der Antike mit den Eigenschaften natürlicher Zahlen beschäftigten, gibt es noch immer zahlreiche ungelöste Fragen (speziell im Zusammenhang mit Primzahlen). In diesem Kapitel werden einige spezielle Begriffe bzw. bisher ungelöste Fragestellungen vorgestellt.
9.1. Pythagoreische Tripel
Unter einem pythagoreischen Tripel versteht man drei natürliche Zahlen $a,b$ und $c$ größer als 0, welche die folgende Gleichung erfüllen:
\begin{equation*}
a^2+b^2=c^2
\end{equation*}
Beispiele für pythagoreische Tripel sind $(3,4,5)$ und $(5,12,13)$, denn es gilt $3^2+4^2=25=5^2$ und $5^2+12^2=169=13^2$.
Aufgabe 1
Finde durch Internetrecherche ein pythagoreisches Tripel, welches in diesem Kapitel nicht genannt wurde.
9.2. Der große Satz von Fermat
Der große Satz von Fermat besagt, dass es für $n>2$ keine drei natürlichen Zahlen größer als 0 gibt, welche die folgende Gleichung erfüllen:
\begin{equation*}
a^n+b^n=c^n
\end{equation*}
Obwohl dieser Satz bereits im 17. Jahrhundert formuliert wurde, konnte er erst im Jahr 1994 vom britischen Mathematiker Andrew Wiles endgültig bewiesen werden.
9.3. Die starke Goldbachsche Vermutung
Folgende Fragestellung, welche heute als (starke) Goldbachsche Vermutung bekannt ist, beschäftigt Mathematiker spätestens seit dem 7. Juni 1742, als Christian Goldbach sie in einem Brief an Leonhard Euler thematisierte:
Kann man jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, als Summe zweier Primzahlen schreiben?
Da in über 270 Jahren kein Gegenbeispiel gefunden wurde, ist es gut möglich, dass es auch keines gibt. Es ist jedoch bisher niemandem gelungen, zu beweisen, dass dies tatsächlich der Fall ist. Kurzzeitig wurde sogar ein Preisgeld von einer Million Dollar auf einen korrekten Beweis ausgesetzt.
Nachfolgend ein paar Beispiele für gerade Zahlen, die in eine Summe zweier Primzahlen zerlegt wurden:
\begin{equation*}
4=2+2,~~ ~~6=3+3,~~ ~~8=3+5,~~ ~~10=5+5,~~ ~~12=5+7, ...
\end{equation*}
Häufig gibt es auch mehrere mögliche Zerlegungen:
\begin{equation*}
20=3+17=7+13,~~ ~~36=5+31=7+29=13+23=17+19, ...
\end{equation*}
Beispiel 1
Es soll die starke Goldbachsche Vermutung für die Zahl 100 bestätigt werden.
Für diese Zahl gibt es sogar mehr als eine Möglichkeit, sie als Summe zweier Primzahlen zu schreiben. Beispiele dafür wären $3+97$, $11+89$ oder $41+59$.
Aufgabe 2
Finde mindestens drei verschiedene Goldbach-Zerlegungen — also Zerlegungen, welche die (starke) Goldbachsche Vermutung erfüllen — für die Zahl 60.
9.4. Die schwache Goldbachsche Vermutung
Analog zur oben beschriebenen starken Goldbachschen Vermutung besagt die schwache Goldbachsche Vermutung, dass jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden kann. Es spielt dabei keine Rolle, ob eine Primzahl öfter als einmal vorkommt.
Nachfolgend werden alle möglichen Zerlegungen für die Zahl 17 aufgelistet:
\begin{equation*}
17=5+5+7=3+7+7=3+3+11
\end{equation*}
Für diese Vermutung wurde 2013 ein Beweis eingereicht, welcher derzeit geprüft wird.
Beispiel 2
Es soll die schwache Goldbachsche Vermutung für die Zahl 25 bestätigt werden.
Es gilt $3+3+19=25$ wodurch die schwache Goldbachsche Vermutung für die Zahl 25 bestätigt ist. Auch hier gibt es mehrere Möglichkeiten, wie etwa $7+7+11=25$ oder $5+7+13=25$.
Kursende erreicht
Feedback
Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?
© 2016 – 2026 MATHE.ZONE