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Rechnerische Lösungsverfahren
Das grafische Lösen eines Gleichungssystems ist meistens ungenau, speziell wenn der Schnittpunkt nicht mit einem Gitterpunkt des Koordinatensystems zusammenfällt oder große bzw. kleine Zahlen vorkommen, sodass die Koordinatenachsen skaliert werden müssen. Außerdem ist das grafische Lösen nur bei zwei Variablen durchführbar. Deshalb werden nun drei Standardverfahren zum rechnerischen Lösen von Gleichungssystemen beschrieben und jeweils anhand eines Beispiels veranschaulicht.
Einsetzungsverfahren bzw. Substitutionsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren (auch Substitutionsverfahren genannt) wird eine der Gleichungen nach einer beliebigen Variable umgeformt. Anschließend wird in allen anderen Gleichungen diese Variable durch jenen Term ersetzt, den man aus der umgeformten Gleichung erhalten hat. Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem, welches eine Gleichung weniger und eine Variable weniger enthält.
Beispiel 1
Es soll das folgende lineare Gleichungssystem anhand des Einsetzungsverfahrens gelöst werden: \begin{align} [1]&~~ 2x+y=4\\ [2]&~~ x-y=-1 \end{align} Die zweite Gleichung kann umgeformt werden zu $x=y-1$. Anschließend wird in der ersten Gleichung statt $x$ der Term $y-1$ eingesetzt. Hierfür muss eine Klammer gesetzt werden. Man erhält folgende Gleichung, in welcher nur noch die Variable $y$ vorkommt: \begin{equation} 2\cdot (y-1)+y=4 \end{equation} Löst man diese Gleichung, so erhält man $y=2$. Zum Schluss wird die andere Variable berechnet. Dazu ist es am einfachsten, in die bereits umgeformte Gleichung $x=y-1$ einzusetzen. Man erhält auf diese Weise die Lösung $x=1$.
Das Einsetzungsverfahren ist sehr gut anwendbar, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variable umgeformt ist bzw. in einer Gleichung eine Variable ohne Koeffizient vorkommt. Haben in jeder Gleichung alle Variablen einen Koeffizienten, so ist das Einsetzungsverfahren nicht empfehlenswert, da das Umformen häufig zu Brüchen führt.
Im Hinblick auf nichtlineare Gleichungssysteme ist das Einsetzungsverfahren wichtig, da hierfür viele Lösungsverfahren, welche für lineare Gleichungssysteme verwendet werden, nicht eingesetzt werden können.
Gleichsetzungsverfahren
Bei diesem Verfahren, welches speziell für Gleichungssysteme mit zwei Variablen verwendet wird, werden beide Gleichungen nach derselben Variable umformt. Anschließend werden die entstehenden Terme gleichgesetzt. Man erhält dadurch eine lineare Gleichung mit einer Variable.
Beispiel 2
Es soll das folgende lineare Gleichungssystem anhand des Gleichsetzungsverfahrens gelöst werden: \begin{align} [1]&~~ 2x+y=4\\ [2]&~~ x-y=-1 \end{align} Da in diesem Beispiel zweimal die Variable $y$ ohne Koeffizient vorkommt, ist es sinnvoll, beide Gleichungen nach $y$ umzuformen. Man erhält $y=4-2x$ und $y=x+1$. Im nächsten Schritt werden beide Terme gleichgesetzt, was zur folgenden Gleichung führt: \begin{equation} 4-2x=x+1 \end{equation} Die Lösung dieser Gleichung lautet $x=1$. Um die zweite Variable zu berechnen, wird das Ergebnis in eine der beiden bereits umgeformten Gleichungen eingesetzt (die einfachere der beiden Gleichungen). Man erhält $y=2$.
Dieses Verfahren ist sehr eng mit dem Einsetzungsverfahrens verwandt. Es ist speziell bei Gleichungssystemen in Normalform sinnvoll, da hier bereits alle Gleichungen nach einer Variable umgeformt sind.
Eliminationsverfahren bzw. Additionsverfahren
Ziel dieses Verfahrens ist es, eine Variable zu eliminieren. Dazu werden die Gleichungen mit geeigneten Faktoren multipliziert, sodass die Koeffizienten einer Variable betragsmäßig gleich sind, jedoch entgegengesetztes Vorzeichen haben. Werden die Gleichungen anschließend addiert, fällt die Variable weg.
Beispiel 3
Es soll das folgende lineare Gleichungssystem anhand des Eliminationsverfahrens gelöst werden: \begin{align} [1]&~~ 3x-5y=21\\ [2]&~~ 6x+2y=6 \end{align} Im ersten Schritt wird die erste Gleichung mit $-2$ multipliziert, was zu folgendem Gleichungssystem führt: \begin{align} [1]&~ -6x+10y=-42\\ [2]&~~ 6x+2y=6 \end{align} Somit hat die Variable $x$ in beiden Gleichungen betragsmäßig den gleichen Koeffizienten, jedoch mit entgegengesetzten Vorzeichen (einmal $-6$ und einmal $+6$). Nun werden beide Gleichungen addiert und man erhält die folgende lineare Gleichung: \begin{equation} 12y=-36 \end{equation} Die Lösung dieser Gleichung ist $y=-3$. Das Resultat wird in eine passende Gleichung eingesetzt (z. B. die zweite Gleichung des ursprünglichen Gleichungssystems). Durch Umformen erhält man die Lösung der zweiten Variable, welche $x=2$ lautet.
In vielen Fällen ist das Eliminationsverfahren das effizienteste dieser drei Verfahren. Beispielsweise ist es relativ gut einsetzbar, wenn es sich bei den Koeffizienten um Brüche handelt. Hingegen ist es bei Dezimalzahlen nur begrenzt einsetzbar. Ein weiterer Nachteil ist, dass im Vergleich zu den vorherigen beiden Verfahren für die zweite Variable noch keine fertig umgeformte Gleichung zur Verfügung steht.
Lösung mittels GeoGebra
Wie lineare Gleichungssysteme mittels GeoGebra gelöst werden, wird in diesem Kapitel behandelt.
Weitere Lösungsverfahren
Neben den hier vorgestellten Lösungsverfahren existiert eine Vielzahl weiterer Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Diese Verfahren sind komplizierter, eignen sich jedoch besser, um Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen systematisch zu lösen bzw. um einen Computeralgorithmus zu entwickeln, der lineare Gleichungssystemen lösen kann. Da diese Verfahren die Grundlagen der Matrizenrechnung voraussetzen, werden sie auch im entsprechenden Kurs behandelt. Nachfolgend sind die passenden Kapitel dieses Kurses aufgelistet:
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