Lösungsmenge bei linear abhängigen Gleichungen

In Kapitel Lösungsfälle wurde erwähnt, dass es unendlich viele Lösungen gibt, wenn die Gleichungen eines linearen Gleichungssystems linear abhängig sind. Dies bedeutet jedoch nicht, dass jede beliebige Zahlenkombination eine Lösung des Gleichungssystems ist. Im grafischen Lösungsverfahren erhielt man zwei deckungsgleiche Geraden, welche unendlich viele Schnittpunkte haben. Daher ist jeder Punkt dieser Geraden eine Lösung des Gleichungssystems. Nachfolgendes Beispiel wird zeigen, wie die Lösungsmenge in diesem Fall angegeben werden kann.

Beispiel 1

Es soll die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems bestimmt werden: \begin{align} [1]&~~ 2x+3y=7\\ [2]&~~ 4x+6y=14 \end{align} Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind (die zweite Gleichung entspricht dem Doppelten der ersten Gleichung). Jedes Paar $(x,y)$, das die Gleichung $2x+3y=7$ erfüllt, ist Lösung dieses Gleichungssystems. Daher kann die Lösungsmenge folgendermaßen angegeben werden: \begin{equation} \mathcal{L}=\{ (x,y) \mid 2x+3y=7\} \end{equation}

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