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In dieser Lektion werden vier grundlegende Ableitungsregeln behandelt. Die Ableitung von $f(x)=x^n$ lautet $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$. In Worten bedeutet dies, dass der alte Exponent als Faktor nach vorne geholt wird und der neue Exponent um 1 verkleinert wird. Diese Regel kann auch verwendet werden, wenn die Variable im Nenner oder unter einer Wurzel steht.

1. $f(x)=x^3 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=3x^2$
2. $f(x)=x^2 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=2x^1 = 2x$
3. $f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2} ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$
4. $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$
5. $f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}}$
6. $f(x)=x=x^1 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=1\cdot x^0 = 1$

Das letzte Beispiel ist besonders wichtig. Es bedeutet, dass einzelne Variablen (ohne Wurzel, Exponent, usw.) wegfallen. Die Faktorregel besagt, dass konstante Faktoren unverändert bleiben.

1. $f(x)=5x^3 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=5\cdot 3x^2 =15x^2$
2. $f(x)=3x^2 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=3\cdot 2 x=6x$
3. $f(x)=17x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=17$

Laut Summenregel werden bei Summen und Differenzen alle Summanden einzeln abgeleitet.

1. $f(x)=4x^2+3x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=8x+3$
2. $f(x)=2x^4-5x^3+x^2-9x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=8x^3-15x^2+2x-9$

Die Ableitungsfunktion von $f(x)=3x^2+5x+2$ lautet $f'(x)=6x+5$. Der konstante Summand 2 am Ende des Funktionsterms fällt also weg. Begründen lässt sich dies durch die Potenzregel. Man kann folgende Erweiterung durchführen $2=2\cdot 1 = 2\cdot x^0$. Durch Ableiten erhält man $2\cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$, wodurch der gesamte Term wegfällt.

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