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Grundlegende Ableitungsregeln
In diesem Kapitel werden allgemeine Regeln erläutert, mit welchen die Ableitungsfunktionen von zusammengesetzten Funktionen bestimmt werden können.
Faktorregel
Die Faktorregel besagt, dass konstante Faktoren unverändert bleiben. Formal bedeutet dies:
$$f(x)=c\cdot g(x)~~ \Rightarrow~~ f'(x)=c\cdot g'(x)$$
Beispiel 1
- $f(x)=5x^3 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=5\cdot 3x^2 =15x^2$
- $f(x)=3x^2 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=3\cdot 2 x=6x$
- $f(x)=17x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=17$
Herleitung
Durch Einsetzen in den Differentialquotienten erhält man Folgendes für die Funktionsgleichung $f(x)=c\cdot g(x)$ mit $c\in \mathbb{R}$:
\begin{equation}
f'(x)=\lim\limits_{z \to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\lim\limits_{z\to x}\frac{c\cdot g(z)-c\cdot g(x)}{z-x}=c\cdot \lim\limits_{z\to x}\frac{g(z)- g(x)}{z-x}=c\cdot g'(x)
\end{equation}
Summenregel
In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man die Ableitungsfunktion berechnet, wenn sich die Funktion aus einer Summe bzw. Differenz von Funktionen zusammensetzt. Es gilt dann folgende Regel:
$$f(x)=f_1(x)\pm f_2(x)~~ \Rightarrow~~ f'(x)=f_1'(x)\pm f_2'(x)$$
Bei Summen und Differenzen werden also alle Summanden einzeln abgeleitet.
Beispiel 2
- $f(x)=4x^2+3x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=8x+3$
- $f(x)=2x^4-5x^3+x^2-9x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=8x^3-15x^2+2x-9$
Beispiel 3
Es soll die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^x+x^2$ bestimmt werden. Gemäß der Summenregel können beide Summanden, also $e^x$ und $x^2$, unabhängig voneinander abgeleitet werden. Man erhält $f'(x)=e^x+2x$.
Herleitung
Durch Einsetzen in den Differentialquotienten erhält man Folgendes:
\begin{equation}
f'(x)=\lim\limits_{z \to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\lim\limits_{z\to x}\frac{f_1(z)+ f_2(z)- (f_1(x)+ f_2(x))}{z-x}=
\end{equation}
\begin{equation}
\lim\limits_{z\to x}\frac{f_1(z)- f_1(x)}{z-x}~-~\lim\limits_{z\to x}\frac{f_2(z)- f_2(x)}{z-x}=f_1'(x)+f_2'(x)
\end{equation}
Analog dazu erhält man die Regel für Differenzen.
Konstante Summanden fallen weg
Die Ableitungsfunktion von $f(x)=3x^2+5x+2$ lautet $f'(x)=6x+5$. Der konstante Summand 2 am Ende des Funktionsterms fällt also weg. Begründen lässt sich dies durch die Potenzregel. Man kann folgende Erweiterung durchführen $2=2\cdot 1 = 2\cdot x^0$. Durch Ableiten erhält man $2\cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$, wodurch der gesamte Term wegfällt.Kursende erreicht
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