Grundlegende Ableitungsregeln

In diesem Kapitel werden allgemeine Regeln erläutert, mit welchen die Ableitungsfunktionen von zusammengesetzten Funktionen bestimmt werden können. Die Faktorregel besagt, dass konstante Faktoren unverändert bleiben. Formal bedeutet dies: $$f(x)=c\cdot g(x)~~ \Rightarrow~~ f'(x)=c\cdot g'(x)$$

Beispiel 1

1. $f(x)=5x^3 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=5\cdot 3x^2 =15x^2$
2. $f(x)=3x^2 ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=3\cdot 2 x=6x$
3. $f(x)=17x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=17$

Herleitung

Durch Einsetzen in den Differentialquotienten erhält man Folgendes für die Funktionsgleichung $f(x)=c\cdot g(x)$ mit $c\in \mathbb{R}$: \begin{equation} f'(x)=\lim\limits_{z \to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\lim\limits_{z\to x}\frac{c\cdot g(z)-c\cdot g(x)}{z-x}=c\cdot \lim\limits_{z\to x}\frac{g(z)- g(x)}{z-x}=c\cdot g'(x) \end{equation}

In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man die Ableitungsfunktion berechnet, wenn sich die Funktion aus einer Summe bzw. Differenz von Funktionen zusammensetzt. Es gilt dann folgende Regel: $$f(x)=f_1(x)\pm f_2(x)~~ \Rightarrow~~ f'(x)=f_1'(x)\pm f_2'(x)$$ Besteht ein Funktionsterm aus der Summe bzw. Differenz mehrerer Terme, so wird jeder Term getrennt abgeleitet.

Beispiel 2

1. $f(x)=4x^2+3x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=8x+3$
2. $f(x)=4x^3 - 5x^2+8x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=12x^2-10x+8$
3. $f(x)=2x^4-5x^3+x^2-9x ~~\Rightarrow ~~ f'(x)=8x^3-15x^2+2x-9$

Beispiel 3

Es soll die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^x+x^2$ bestimmt werden. Gemäß der Summenregel können beide Summanden, also $e^x$ und $x^2$, unabhängig voneinander abgeleitet werden. Man erhält $f'(x)=e^x+2x$.

Herleitung

Durch Einsetzen in den Differentialquotienten erhält man Folgendes: \begin{equation} f'(x)=\lim\limits_{z \to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\lim\limits_{z\to x}\frac{f_1(z)+ f_2(z)- (f_1(x)+ f_2(x))}{z-x}= \end{equation} \begin{equation} \lim\limits_{z\to x}\frac{f_1(z)- f_1(x)}{z-x}~-~\lim\limits_{z\to x}\frac{f_2(z)- f_2(x)}{z-x}=f_1'(x)+f_2'(x) \end{equation} Analog dazu erhält man die Regel für Differenzen.

Die Ableitung der konstanten Funktion $f(x)=c$ mit $c\in \mathbb{R}$ lautet $f'(x)=0$. Dafür gibt es zwei Begründungen: Begründung 1: Die konstante Funktion entspricht einer waagrechten Gerade. Die Steigung (also die 1. Ableitung) hat daher überall den Wert 0. Begründung 2: Man könnte die Funktionsgleichung $f(x)=c$ ergänzen zu $f(x)=c\cdot x^0$, denn $x^0 =1$ und eine Multiplikation mit 1 verändert den Wert des Terms nicht. Durch die Potenzregel ergibt sich $f'(x)=c\cdot 0\cdot x^{-1}=0$.

Beispiel 4

Die Ableitungsfunktion von $f(x)=3x^2+5x+2$ lautet $f'(x)=6x+5$. Der konstante Summand 2 am Ende des Funktionsterms fällt weg.

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