| Fragen
Welche Regeln gelten für Baumdiagramme?
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Entlang eines Pfades werden alle Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
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Um mehrere Pfade zusammenzufassen, werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.
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Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, welche Schreibweise wird dafür verwendet und wie lautet die Formel dafür?
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Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(B\mid A)$ wird berechnet, wie wahrscheinlich es ist, dass Ereignis $B$ eintritt, wenn Ereignis $A$ eingetreten ist (z. B. wie wahrscheinlich ist es, dass jemand die Prüfung besteht, wenn er fünf Tage davor zu lernen begonnen hat). Der senkrechte Strich im Ausdruck $B\mid A$ wird als „unter der Bedingung“ ausgesprochen.
Formel: $P(B\mid A)= \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Verbale Beschreibung: Unter allen Möglichkeiten, bei denen $A$ eingetreten ist, werden jene ausgewählt, in denen zusätzlich auch $B$ eingetreten ist. Es wird also eine neue Grundmenge betrachtet, nämlich nur noch jene Fälle, bei denen $A$ erfüllt ist. einklappen
Wie kann man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit anhand eines Baumdiagrammes begründen?
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Relevant für die Begründung sind nur die drei Wahrscheinlichkeiten, die im linken Pfad des folgenden Baumdiagramms eingetragen wurden:
Da die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert werden, erhält man $P(A\cap B)= P(A)\cdot P(B\mid A)$. Dividiert man durch $P(A)$, so erhält man $P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. einklappen
Wann sind zwei Ereignisse stochastisch unabhängig?
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Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die Gleichung $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ erfüllt ist.
Begründung: Wenn $A$ und $B$ unabhängig sind, dann hat es keinen Einfluss auf $B$, ob $A$ eingetreten ist oder nicht. Das bedeutet, $P(B\mid A)= P(B)$ muss erfüllt sein. Setzt man nun auf der linken Seite die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ein, also $P(B\mid A)= \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, so erhält man:
$$\frac{P(A\cap B)}{P(A)} = P(B)$$
Durch Multiplikation mit $P(A)$ erhält man die obige Gleichung $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$. einklappen
Welche Fälle können eintreten, wenn zwei Ereignisse nicht unabhängig sind?
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Falls $P(B\mid A)=P(A)\cdot P(B)$ gilt, dann sind $A$ und $B$ unabhängig.
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Falls $P(B\mid A)>P(A)\cdot P(B)$ gilt, dann wird $B$ durch $A$ begünstigt.
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Falls $P(B\mid A)< P(A)\cdot P(B)$ gilt, dann wird $B$ durch $A$ erschwert.
Begründung: Falls $B$ durch $A$ begünstigt wird, so gilt $P(B\mid A)> P(B)$. Setzt man links die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ein, so erhält man $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}> P(B)$. Durch Umformen folgt die obige Eigenschaft.
Falls $B$ durch $A$ erschwertwird, so gilt $P(B\mid A)< P(B)$. Setzt man links die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ein, so erhält man $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}< P(B)$. Durch Umformen folgt die obige Eigenschaft. einklappen
Wie lautet der Satz von Bayes und wofür kann er verwendet werden? Gib ein konkretes Beispiel!
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$$P(A\mid B) = \frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}$$
Dieser Satz kann verwendet werden, um eine Umkehr der Bedingungen durchzuführen. Kennt man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, mit welcher eine kranke Person ein positives Testergebnis erhält, so kann man mit ausreichenden Zusatzinformationen berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine positiv getestete Person tatsächlich krank ist. Es wird also mittels $P(\mathrm{positiver~Test}\mid \mathrm{krank})$ die Wahrscheinlichkeit $P(\mathrm{ \mathrm{krank} \mid positiver~Test})$ berechnet. einklappen
Wie wird der Satz von Bayes richtig ausgesprochen?
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Der Satz von Bayes geht auf den englischen Mathematiker Thomas Bayes zurück, dessen Familienname bɛɪ̯z gesprochen wird. Eine Audiodatei dazu befindet sich unter folgendem Link: Audiodatei einklappen
Wie lautet die Herleitung für den Satz von Bayes?
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Ausgangspunkt sind die beiden folgenden Baumdiagramme, bei welchen jeweils die Reihenfolge der Ereignisse abwechselt.
Aus dem linken Diagramm erhält man $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B \mid A)$ und aus dem rechten Diagramm erhält man $P(A\cap B) = P(B)\cdot P(A \mid B)$. Durch Gleichsetzen erhält man:
$$P(A)\cdot P(B \mid A) = P(B)\cdot P(A \mid B) $$
Dies kann schließlich umgeformt werden zu:
$$P(A\mid B) = \frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}$$ einklappen
Wie kann der Satz von Bayes praktisch anhand eines Baumdiagramms angewendet werden? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Ausgangspunkt ist folgendes Baumdiagramm, von welchem alle Wahrscheinlichkeiten bekannt sind:
Die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B\mid A)$ sind bekannt sein und $P(B)$ entspricht im Baumdiagramm der Summe aller Pfade, die Ereignis $B$ enthalten, also $P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\neg A)\cdot P(B \mid \neg A)$. Durch Einsetzen wird der Satz von Bayes folgendermaßen erweitert:
$$P(A\mid B) = \frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)} = \frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\neg A)\cdot P(B \mid \neg A)} = \frac{\mathrm{Pfad,~der~A~und~B~enthält}}{\mathrm{alle~Pfade,~die~B~enthalten}} $$
Beispiel: Es ist folgendes Baumdiagramm gegeben:
Die Wahrscheinlichkeit $P(A\mid B)$ wird folgendermaßen berechnet:
$$P(A\mid B) = \frac{0{,}3\cdot 0{,}1}{0{,}3\cdot 0{,}1 + 0{,}7\cdot 0{,}8} = 0{,}05084... \approx 5{,}08\,\%$$ einklappen
Was bedeuten die Fachbegriffe „Prävalenz“, „Sensitivität“ und „Spezifität“?
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Die Prävalenz beschreibt den Anteil der Bevölkerung, der an einer bestimmten Krankheit erkrankt ist.
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Die Sensitivität ist die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Test eine erkrankte Person als krank erkennt.
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Die Spezifität ist die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Test eine gesunde Person als gesund erkennt.
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