Fragen
Winkelfunktionen
Was versteht man unter Ankathete und Gegenkathete? Beschreibe anhand passender Skizzen!
Lösung zeigen
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und befindet sich gegenüber des rechten Winkels. Die Position der Ankathete und der Gegenkathete sind hingegen abhängig vom betrachteten Winkel. Die Ankathete grenzt immer an den Winkel an. Die Gegenkathete befindet sich gegenüber des Winkels.
einklappen
Wie sind die drei Winkelfunktionen definiert?
Lösung zeigen
-
$\mathrm{Sinus}= \frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$
-
$\mathrm{Cosinus}= \frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$
-
$\mathrm{Tangens}= \frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$
einklappen
Umkehrfunktionen
Wie lauten die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen und welche Symbole werden dafür verwendet?
Lösung zeigen
-
Die Umkehrfunktion des Sinus heißt Arkussinus und wird mit $\arcsin$, $\mathrm{asin}$ oder $\sin^{-1}$ bezeichnet.
-
Die Umkehrfunktion des Cosinus heißt Arkuscosinus und wird mit $\arccos$, $\mathrm{acos}$ oder $\cos^{-1}$ bezeichnet.
-
Die Umkehrfunktion des Tangens heißt Arkustangens und wird mit $\arctan$, $\mathrm{atan}$ oder $\tan^{-1}$ bezeichnet.
einklappen
Wofür werden die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen verwendet?
Lösung zeigen
Die Umkehrfunktionen $\arcsin$, $\arccos$ und $\arctan$ können verwendet werden, um mit zwei gegebenen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks einen Winkel zu berechnen. einklappen
Steigungswinkel und Steigung
Wie lautet der Zusammenhang zwischen Steigungswinkel und Steigung?
Lösung zeigen
Für den Steigungswinkel $\alpha$ und die Steigung $k$ gelten die folgenden Zusammenhänge:
-
$k=\tan(\alpha)$
-
$\alpha = \arctan(k)$
Begründung: Die Steigung entspricht dem Verhältnis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Da $\Delta y$ die Gegenkathete und $\Delta x$ die Ankathete von $\alpha$ ist, entspricht dieses Verhältnis auch dem Tangens von $\alpha$. Daher gilt $k=\tan(\alpha)$. Die zweite Formel ergibt sich durch Anwendung der Umkehrfunktion.
einklappen
Möglichkeiten zur Unterstützung
© 2016 – 2024 MATHE.ZONE
