Fragen
Winkelfunktionen
Was versteht man unter Ankathete und Gegenkathete? Beschreibe anhand passender Skizzen!
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Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und befindet sich gegenüber des rechten Winkels. Die Position der Ankathete und der Gegenkathete sind hingegen abhängig vom betrachteten Winkel. Die Ankathete grenzt immer
an den Winkel an. Die Gegenkathete befindet sich
gegenüber des Winkels.
Wie sind die drei Winkelfunktionen definiert?
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$\mathrm{Sinus}= \frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$
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$\mathrm{Cosinus}= \frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$
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$\mathrm{Tangens}= \frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$
Umkehrfunktionen
Wie lauten die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen und welche Symbole werden dafür verwendet?
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Die Umkehrfunktion des Sinus heißt Arkussinus und wird mit $\arcsin$, $\mathrm{asin}$ oder $\sin^{-1}$ bezeichnet.
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Die Umkehrfunktion des Cosinus heißt Arkuscosinus und wird mit $\arccos$, $\mathrm{acos}$ oder $\cos^{-1}$ bezeichnet.
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Die Umkehrfunktion des Tangens heißt Arkustangens und wird mit $\arctan$, $\mathrm{atan}$ oder $\tan^{-1}$ bezeichnet.
Wofür werden die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen verwendet?
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Die Umkehrfunktionen $\arcsin$, $\arccos$ und $\arctan$ können verwendet werden, um mit zwei gegebenen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks einen Winkel zu berechnen.
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Steigungswinkel und Steigung
Wie lautet der Zusammenhang zwischen Steigungswinkel und Steigung?
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Für den Steigungswinkel $\alpha$ und die Steigung $k$ gelten die folgenden Zusammenhänge:
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$k=\tan(\alpha)$
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$\alpha = \arctan(k)$
Begründung: Die Steigung entspricht dem Verhältnis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Da $\Delta y$ die Gegenkathete und $\Delta x$ die Ankathete von $\alpha$ ist, entspricht dieses Verhältnis auch dem Tangens von $\alpha$. Daher gilt $k=\tan(\alpha)$. Die zweite Formel ergibt sich durch Anwendung der Umkehrfunktion.
