Fragen
Potenzen
Es ist die Potenz $a^n$ gegeben. Wie nennt man die Komponenten $a$ und $n$?
Wie werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert? Begründe anhand eines Beispiels!
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Allgemeine Regel: $a^x\cdot a^y= a^{x+y}$
Verbale Beschreibung: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden.
Begründung: Man kann anstelle der Potenzen die Variablen einzeln aufschreiben. Ihre Anzahl entspricht der Summe der beiden Exponenten: $x^3\cdot x^5=(x\cdot x\cdot x) \cdot (x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x) = x^8$ einklappen
Wie werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert? Begründe anhand eines Beispiels!
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Allgemeine Regel: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Verbale Beschreibung: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden.
Begründung: Anstelle der Potenzen können im Zähler und im Nenner die Variablen einzeln aufgeschrieben und gekürzt werden: $\frac{x^8}{x^5}=\frac{x\cdot x \cdot x\cdot x \cdot x\cdot x \cdot x\cdot x}{x\cdot x \cdot x\cdot x\cdot x } = x\cdot x \cdot x = x^3$. einklappen
Was ist beim Potenzieren negativer Terme zu beachten?
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Falls der Exponent gerade ist, fällt das Minus weg. Das geschieht, weil jeweils zwei Minus zusammengefasst werden zu einem Plus. Beispiel: $(-2)^4 = \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_{+4} \cdot \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_{+4}=+16$
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Falls der Exponent ungerade ist, bleibt das Minus erhalten. Das geschieht, weil jeweils zwei Minus zusammengefasst werden zu einem Plus und am Ende ein Minus übrig bleibt. Beispiel: $(-2)^5 = \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_{+4} \cdot \underbrace{(-2)\cdot (-2)}_{+4} \cdot (-2) =-32$
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Wie werden Potenzen potenziert? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Allgemeine Regel: $\left(a^x \right)^y = a^{x\cdot y}$
Verbale Beschreibung: Potenzen werden potenziert, indem der innere Exponent und der äußere Exponent multipliziert werden.
Beispiel: $\left(x^3 \right)^5 = x^{3\cdot 5} = x^{15}$ einklappen
Warum sind die Terme $\left(a^x \right)^y$ und $\left(a^y \right)^x$ äquivalent?
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Einerseits gilt $\left(a^x \right)^y = a^{x\cdot y}$ und andererseits gilt $\left(a^y \right)^x = a^{y\cdot x}$. Da bei der Multiplikation im Exponent die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt, müssen die beiden Terme äquivalent sein. einklappen
Binomische Formeln
Was ist ein Binom? Gib ein paar Beispiele!
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Ein Binom ist ein Polynom, welches aus zwei Gliedern (Monomen) besteht.
Beispiele: $a+b,~~x^2-y^3,~~3m+2n,~~5a^2-20$ einklappen
Wie lauten die drei klassischen binomischen Formeln, also jene, bei denen zwei Binome multipliziert werden?
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