$a$ ist der Zähler und $b$ ist der Nenner.

$\mathbb{Q}$

Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Beispiel 1: $~\frac{3}{5}\to \frac{5}{3}$ Beispiel 2: $~-\frac{7}{2}\to -\frac{2}{7}$ Beispiel 3: $~\frac{1}{4}\to 4$

Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner wiederum Brüche stehen. Beispiel: $$\frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{3}{4} }$$

1. Es wird ein gemeinsamer Nenner bestimmt. Der kleinste gemeinsame Nenner entspricht dem KGV aller vorhandenen Nenner.
2. Es werden alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner erweitert.
3. Es werden alle Zähler auf einen einzigen Bruchstrich geschrieben. Der Nenner entspricht dem gemeinsamen Nenner.
4. Es wird der Zähler zu einer Zahl zusammengefasst.
5. Falls möglich, wird gekürzt.

Beispiel: $\frac{2}{3} + \frac{7}{10} - \frac{3}{5} = \frac{20}{30} + \frac{21}{30} - \frac{18}{30} = \frac{20+21-18}{30} = \frac{23}{30}$

Allgemeine Regel: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ Verbale Beschreibung: Es werden beide Zähler und beide Nenner multipliziert. Bevor Brüche multipliziert werden, sollte man auf jeden Fall so weit wie möglich kürzen. Man kann innerhalb der jeweiligen Brüche sowie „kreuzweise“ (also den Zähler eines Bruches mit dem Nenner des anderen Bruches) kürzen. Beispiel: $\frac{16}{7}\cdot \frac{21}{32}= \frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2} = \frac{2\cdot 3}{ 1\cdot 2} = \frac{3}{1} = 3$

Allgemeine Regel: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b\cdot c}$ Verbale Beschreibung: Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Vor der Multiplikation sollte gekürzt werden (falls möglich). Beispiel: $\frac{25}{21} : \frac{10}{28} = \frac{25}{21} \cdot \frac{28}{10} = \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{2} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{1} =\frac{10}{3}$

Einen Doppelbruch kann man auch als Division zweier Brüche schreiben und anschließend anhand der Rechenregel für die Division von Brüchen vereinfachen. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d}$$ Beispiel: $$\frac{ \frac{3}{5} }{ \frac{2}{7} } = \frac{3}{5} : \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3\cdot 7}{5\cdot 2} = \frac{21}{10}$$ Es kann die Merkregel „Außen × Außen durch Innen × Innen“ verwendet werden. Mit „Außen“ sind die beiden Zahlen gemeint, die im Doppelbruch ganz oben und ganz unten stehen. Mit „Innen“ sind die beiden inneren Zahlen gemeint. Im obigen Beispiel würde man damit sofort $\frac{3\cdot 7}{5\cdot 2}$ erhalten und zwei Rechenschritte einsparen.

wenn der Nenner ausschließlich aus den Primfaktoren 2 und 5 gebildet wird (z. B. 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32)