MATHE.ZONE: Fragen zu quadratischen Gleichungen

Wie sieht die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung aus?

$ax^2+bx+c=0$

Wie sieht die Normalform einer quadratischen Gleichung aus?

$x^2+px+q=0$

Wie kann man eine quadratische Gleichung von der allgemeinen Form in die Normalform bringen? Demonstriere anhand eines Beispiels!

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Man dividiert die gesamte Gleichung durch den Koeffizient

$a$ .

Beispiel:

$3x^2+6x-18=0 \,\Rightarrow \, x^2+2x-6=0$

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Wie sieht eine reinquadratische Gleichung aus?

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$ax^2+c=0$

Es gibt nur ein quadratisches Glied

$a\cdot x^2$ und ein konstantes Glied

$c$ , jedoch kein lineares Glied

$b\cdot x$ .

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Wie sieht die Struktur einer biquadratischen Gleichung aus?

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$ax^4+bx^2+c=0$

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Wie werden biquadratische Gleichungen gelöst? Demonstriere anhand eines Beispiels!

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Beispiel:

$2x^4-26x^2 +72=0$

Zunächst wird die Substitution $y=x^2$ durchgeführt. Die Gleichung lautet somit $2y^2- 26y+72=0$ . Die biquadratische Gleichung wurde auf eine quadratische Gleichung reduziert.
Diese quadratische Gleichung wird mittels Lösungsformel gelöst. Man erhält $y_{1,2}= \frac{26\pm \sqrt{ (-26)^2 -4\cdot 2\cdot 72 }}{2\cdot 2 } \Rightarrow y_1 = 9, y_2 = 4$ .
Abschließend müssen aus den Lösungen für $y$ mittels Rücksubstitution die Lösungen für $x$ berechnet werden. Es gilt $x=\pm \sqrt{y}$ . Die Lösungsmenge ist daher $\{ 3, -3, 2, -2 \}$ .

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Wie lautet der Satz von Vieta und wofür kann er verwendet werden?

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Für eine quadratische Gleichung in der Form

$x^2+px+q=0$ (Normalform) gelten die folgenden Zusammenhänge, welche als Satz von Vieta bekannt sind:

$x_1+x_2=-p$
$x_1\cdot x_2=q$

Der Satz von Vieta kann verwendet werden, um ohne Aufwand die zweite Lösung zu berechnen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist.

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Lösungen bestimmen

Wie löst man eine reinquadratische Gleichung? Demonstriere anhand eines Beispiels!

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Reinquadratische Gleichungen, also Gleichungen der Form

$ax^2+c=0$ , sollten niemals mittels Lösungsformel gelöst werden, da der Aufwand viel zu groß wäre. Stattdessen wird so umgeformt, dass

$x^2$ alleine steht. Anschließend wird die Wurzel gezogen.

Beispiel:

$3x^2-75=0$

$x^2-25=0$

$x^2=25$

$x=\pm \sqrt{25}=\pm 5$

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Wie lautet die „große Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen und welche Struktur muss die Gleichung dafür besitzen?

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Quadratische Gleichungen der Form

$ax^2+bx+c=0$ können mit folgender Formel gelöst werden:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

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Wie lautet die „kleine Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen und welche Struktur muss die Gleichung dafür besitzen?

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Quadratische Gleichungen der Form

$x^2+px+q=0$ können mit folgender Formel gelöst werden:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q }$

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Wie kann die „kleine Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen aus der „großen Lösungsformel“ hergeleitet werden?

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Die große Lösungsformel lautet folgendermaßen:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Möchte man damit eine Gleichung der Form

$x^2+px+q=0$ lösen, so setzt man folgende Werte ein

$a=1$ ,

$b=p$ und

$c=q$ . Man erhält folgende Umformung:

$x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot 1 \cdot q}}{2\cdot 1} = -\frac{p}{2} \pm \frac {\sqrt{p^2-4 q}}{2 } = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^2-4q}{4} } = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^2}{4} - \frac{4q}{4} } = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$

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Lösungsfälle

Was ist eine Diskriminante?

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Als Diskriminante bezeichnet man den Term

$b^2-4ac$ , welcher unter der Wurzel der allgemeinen Lösungsformel quadratischer Gleichungen steht.

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