Fragen
Wie sieht die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung aus?
Wie sieht die Normalform einer quadratischen Gleichung aus?
Wie kann man eine quadratische Gleichung von der allgemeinen Form in die Normalform bringen? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Man dividiert die gesamte Gleichung durch den Koeffizient $a$.
Beispiel: $3x^2+6x-18=0 \,\Rightarrow \, x^2+2x-6=0$ einklappen
Wie sieht eine reinquadratische Gleichung aus?
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$ax^2+c=0$
Es gibt nur ein quadratisches Glied $a\cdot x^2$ und ein konstantes Glied $c$, jedoch kein lineares Glied $b\cdot x$. einklappen
Wie sieht die Struktur einer biquadratischen Gleichung aus?
Wie werden biquadratische Gleichungen gelöst? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Beispiel: $2x^4-26x^2 +72=0$
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Zunächst wird die Substitution $y=x^2$ durchgeführt. Die Gleichung lautet somit $2y^2- 26y+72=0$. Die biquadratische Gleichung wurde auf eine quadratische Gleichung reduziert.
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Diese quadratische Gleichung wird mittels Lösungsformel gelöst. Man erhält $y_{1,2}= \frac{26\pm \sqrt{ (-26)^2 -4\cdot 2\cdot 72 }}{2\cdot 2 } \Rightarrow y_1 = 9, y_2 = 4$.
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Abschließend müssen aus den Lösungen für $y$ mittels Rücksubstitution die Lösungen für $x$ berechnet werden. Es gilt $x=\pm \sqrt{y}$. Die Lösungsmenge ist daher $\{ 3, -3, 2, -2 \}$.
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Wie lautet der Satz von Vieta und wofür kann er verwendet werden?
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Für eine quadratische Gleichung in der Form $x^2+px+q=0$ (Normalform) gelten die folgenden Zusammenhänge, welche als Satz von Vieta bekannt sind:
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$x_1+x_2=-p$
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$x_1\cdot x_2=q$
Der Satz von Vieta kann verwendet werden, um ohne Aufwand die zweite Lösung zu berechnen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist. einklappen
Lösungen bestimmen
Wie löst man eine reinquadratische Gleichung? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Reinquadratische Gleichungen, also Gleichungen der Form $ax^2+c=0$, sollten niemals mittels Lösungsformel gelöst werden, da der Aufwand viel zu groß wäre. Stattdessen wird so umgeformt, dass $x^2$ alleine steht. Anschließend wird die Wurzel gezogen.
Beispiel: $3x^2-75=0$
$x^2-25=0$
$x^2=25$
$x=\pm \sqrt{25}=\pm 5$ einklappen
Wie lautet die „große Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen und welche Struktur muss die Gleichung dafür besitzen?
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Quadratische Gleichungen der Form $ax^2+bx+c=0$ können mit folgender Formel gelöst werden:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ einklappen
Wie lautet die „kleine Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen und welche Struktur muss die Gleichung dafür besitzen?
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Quadratische Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$ können mit folgender Formel gelöst werden:
$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q }$$ einklappen
Wie kann die „kleine Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen aus der „großen Lösungsformel“ hergeleitet werden?
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Die große Lösungsformel lautet folgendermaßen:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Möchte man damit eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ lösen, so setzt man folgende Werte ein $a=1$, $b=p$ und $c=q$. Man erhält folgende Umformung:
$$x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot 1 \cdot q}}{2\cdot 1} = -\frac{p}{2} \pm \frac {\sqrt{p^2-4 q}}{2 } = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^2-4q}{4} } = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^2}{4} - \frac{4q}{4} } = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$$ einklappen
Lösungsfälle
Was ist eine Diskriminante?
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Als Diskriminante bezeichnet man den Term $b^2-4ac$, welcher unter der Wurzel der allgemeinen Lösungsformel quadratischer Gleichungen steht. einklappen
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