Fragen
Wie lautet die Funktionsgleichung einer logistischen Funktion und welche Bedeutung haben die einzelnen Parameter?
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$$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^{\,t}}\hspace{1cm}\mathrm{oder}\hspace{1cm}N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t}}$$
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$S$ ist die Schranke, welcher sich die Funktion für sehr große $t$ annähert.
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$c$ wird berechnet durch $c=\frac{S-N_0}{N_0}=\frac{\mathrm{Anfangsabstand}}{\mathrm{Anfangswert}}$.
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$a$ bzw. $\lambda$ beeinflusst, wie schnell sich die Funktion der Schranke annähert.
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In welchen Bereichen kommen logistische Funktionen typischerweise zum Einsatz?
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Verkaufszahlen: Am Beginn ist das Wachstum langsam, da das Produkt unbekannt ist und am Ende ist das Wachstum langsam, weil der Markt gesättigt ist.
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Infektionszahlen: Am Beginn ist das Wachstum langsam, da erst wenige Meschen ansteckend sind und am Ende ist das Wachstum langsam, weil die Ausbreitung durch die hohe Immunität erschwert wird.
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Populationen mit beschränkten Ressourcen (z. B. Insel): Am Beginn ist das Wachstum langsam, da wenige Individuen für die Vermehrung verfügbar sind und am Ende ist das Wachstum langsam, weil die Ressourcen knapp werden.
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Wie sieht der Graph einer logistischen Funktion aus? Markiere alle wichtigen Eigenschaften!
Wie erstellt man anhand passender Vorgaben die Gleichung einer logistischen Funktion?
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Beispiel: Es soll die Funktionsgleichung zur folgenden Abbildung erstellt werden.
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung sieht folgendermaßen aus:
$$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^{\,t}}$$
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Es wird die Schranke ermittelt. In diesem Beispiel gilt $S=300$. Bei Textaufgaben ist die Schranke meistens in der Aufgabenstellung enthalten.
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Als Nächstes wird der Anfangswert $N_0$ bestimmt. In diesem Beispiel gilt $N_0=15$. Bei Textaufgaben ist auch dieser Wert meistens in der Aufgabenstellung enthalten.
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Mittels $c=\frac{S-N_0}{N_0}$ wird nun der Parameter $c$ berechnet. In diesem Beispiel erhält man $c=\frac{300-15}{15}=19$.
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Nun benötigt man einen Punkt des Funktionsgraphen, hier $(10\mid 100)$. Häufig ist bei Textaufgaben ein Wertepaar in der Aufgabenstellung enthalten.
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Zuletzt werden alle bekannten Werte in die obige Grundgleichung eingesetzt, um damit $a$ zu berechnen:
$$100 = \frac{300}{1+19\cdot a^{10}} ~\Rightarrow ~a=\sqrt[10]{\frac{ \frac{300}{100}-1 }{19}} \approx 0{,}7984$$
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Die Funktionsgleichung lautet $N(t)=\frac{300}{1+19\cdot 0{,}7984^{\,t}}$
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