Fragen
Welches Symbol wird für die Menge der komplexen Zahlen verwendet?
Wie lautet die Definition der imaginären Einheit $i$ und welche alternativen Schreibweisen gibt es?
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Die imaginäre Einheit $i$ ist definiert durch $i^2 =-1$. Daraus ergibt sich $i= \pm \sqrt{-1}$.
Da in der Elektrotechnik der Kleinbuchstabe $i$ für die Wechselstromstärke verwendet wird, bezeichnet man dort die imaginäre Einheit häufig mit $j$.
Welche Darstellungsformen existieren für komplexe Zahlen und welche Koordinaten werden dafür verwendet?
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Komponentenform (kartesische Koordinaten): $a+b\cdot i$
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Exponentialform (Polarkoordinaten): $r\cdot e^{i\cdot \varphi}$
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Trigonometrische Form (Polarkoordinaten): $r\cdot \left( \cos(\varphi) + i\cdot \sin(\varphi) \right)$
Welchen Wert haben die Potenzen der imaginären Einheit $i$ mit den Exponenten 0, 1, 2, 3 und 4?
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$i^0 = 1$ (gilt für jede Basis ungleich 0)
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$i^1 = i$ (gilt für jede Basis)
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$i^2 = -1$ (Definition der imaginären Einheit)
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$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i= -i$
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$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)\cdot (-1)=1$
Wie werden Potenzen der imaginären Einheit vereinfacht, deren Exponent größer als 4 ist? Demonstriere anhand einiger Beispiele!
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Hierfür verwendet man die Eigenschaft $i^4 = 1$. Man verkleinert den Exponent solange um 4, bis er zwischen 0 und 3 liegt (am besten subtrahiert man eine möglichst große Zahl, die durch 4 teilbar ist).
Beispiel 1: $i^{23} = i^{23-20}=i^3 = -i$
Beispiel 2: $i^{77} = i^{77-76} = i^1 = i$
Beispiel 3: $i^{48} = i^{48-48} =i^0 = 1$
Wie werden Potenzen der imaginären Einheit vereinfacht, deren Exponent negativ ist? Demonstriere anhand einiger Beispiele!
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Hierfür verwendet man die Eigenschaft $i^4 =1$. Man vergrößert den Exponent solange um 4, bis er zwischen 0 und 3 liegt (am besten addiert man eine möglichst große Zahl, die durch 4 teilbar ist).
Beispiel 1: $i^{-17}=i^{-17+20}= i^3 =-i$
Beispiel 2: $i^{-42}=i^{-42+44}=i^2 = -1$
Beispiel 3: $\frac{1}{i^39}= i^{-39} = i^{-39+40}=i^1 = i$
Kartesische Koordinaten ($a~$ und $~b$)
Was versteht man unter dem Realteil und dem Imaginärteil einer komplexen Zahl und welche Symbole werden dafür verwendet?
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Bei der komplexen Zahl $z=a+bi$ entspricht $a$ dem Realteil und $b$ dem Imaginärteil. Man schreibt dafür $\mathrm{Re}(z)=a$ und $\mathrm{Im}(z)=b$.
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Wie ermittelt man zu einer komplexen Zahl $z$, welche in der Form $a+bi$ gegeben ist, die zugehörige komplexe konjugierte Zahl? Welches Symbol verwendet man? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Allgemein: Es wird das Vorzeichen des Imaginärteils geändert. Als Symbol verwendet man für die komplex konjugierte Zahl meistens $\bar z$.
Beispiel 1: $~z=2+5i ~\Rightarrow~ \bar z = 2-5i$
Beispiel 2: $~z=6-i ~\Rightarrow~ \bar z = 6+i$
Beispiel 3: $~z=-4i ~\Rightarrow~ \bar z = 4i$
Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl $z$, welche in der Form $a+bi$ gegeben ist? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Die allgemeine Formel lautet $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ (Satz des Pythagoras).
Beispiel: $z=3-4i ~\Rightarrow~ |z|=\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$
Polarkoordinaten ($r~$ und $~\varphi$)
Wie wird eine komplexe Zahl von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umgerechnet? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Ist eine komplexe Zahl in der Form $a+b\cdot i$ gegeben, so gelten die folgenden Formeln zur Berechnung von $r$ und $\varphi$:
$$r=\sqrt{a^2 +b^2}$$
$$\varphi=\begin{cases}
\arccos\left( \frac{a}{r} \right),&b\geq 0\\
-\arccos\left( \frac{a}{r} \right),&b< 0\\
\end{cases}$$
Es existiert auch eine andere Formel für $\varphi$, welche anstelle des $\arccos$ den $\arctan$ verwendet. Diese Formel ist jedoch weitaus komplizierter anzuwenden, da mehr als zwei Fälle zu berücksichtigen sind bzw. die Ergebnisse noch umgerechnet werden müssen. Daher ist die oben genannte Formel definitiv zu bevorzugen.
Beispiel: $z=-4-3i$
$$r=\sqrt{(-4)^2+ (-3)^2}=\sqrt{25}=5$$
$$\varphi = -\arccos \left( \frac{-4}{5} \right)\approx -2{,}4981$$
Das Ergebnis lautet somit $z \approx 5\cdot e^{-2{,}4981 \cdot i}$.
Wie wird eine komplexe Zahl von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umgerechnet? Demonstriere anhand eines Beispiels!
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Ist eine komplexe Zahl in der Form $r\cdot e^{\varphi\cdot i}$ gegeben, so gelten für die Umrechnung in die Form $a+b\cdot i$ folgende Formeln:
$$a=r\cdot \cos(\varphi)$$
$$b=r\cdot \sin(\varphi)$$
Beispiel: $z=3\cdot e^{2i}$
Es muss darauf geachtet werden, dass der Taschenrechner im Bogenmaß rechnet (Einheit: Radiant). Man erhält $a=3\cdot \cos(2) \approx -1{,}2484$ und $b=3\cdot \sin(2) \approx 2{,}7279$. Das Ergebnis lautet somit $z \approx -1{,}2484+ 2{,}7279i$.