$s_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}$ bzw. $s_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ Die Reihenfolge spielt keine Rolle, da man den gesamten Bruch mit $-1$ erweitern kann. Dadurch werden alle Vorzeichen gewechselt und statt $-q^n+1$ kann im Zähler $1-q^n$ geschrieben werden und $-q+1$ im Nenner wird zu $1-q$.

Summenformel: $s_\infty = a_1 \cdot \frac{1}{1-q}$ Bedingung: $|q|<1$
Damit die Summe konvergiert, muss der Betrag des Änderungsfaktors $q$ kleiner als 1 sein. Herleitung: Die Formel erhält man, indem man den Grenzwert des Terms der endlichen geometrischen Reihe bildet, denn $\lim \limits_{n \to \infty} q^n = 0$, wenn $|q|<1$ gilt, und daher fällt im Zähler der Term $q^n$ weg. $$\lim \limits_{n \to \infty} \left( a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \right) = a_1 \cdot \frac{1}{1-q}$$