Die Eingabe ist abhängig vom Taschenrechner. Das Ergebnis sollte ca. $2{,}718281828$ sein.

$e = 2{,}718281828...$ Auffallend ist die Ziffernfolge 18-28-18-28 anhand welcher man sich die ersten zehn signifikanten Stellen dieser Zahl relativ gut merken kann.

Eine mögliche Definition ist durch folgende unendliche Summe gegeben: $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+... = \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+...$

$f(x)=c\cdot a^x$ mit $a>0$

Entscheidend ist hierfür der Änderungsfaktor $a$:

• Falls $a>1$ gilt, ist die Funktion steigend. Beispiel: $f(x)=0{,}3 \cdot 2{,}5^x$
• Falls $0< a<1$ gilt, ist die Funktion fallend. Beispiel: $f(x)=6 \cdot 0{,}8^x$
• Falls $a=1$ gilt, ist die Funktion konstant (dieser Fall wird meistens nicht als Exponentialfunktion bezeichnet). Beispiel: $f(x)=2\cdot 1^x = 2$

Der Parameter $c$ gibt an, bei welchem Wert die $y$-Achse geschnitten wird (Ordinatenabschnitt). Begründung: $f(0)=c\cdot a^0 = c\cdot 1=c$

Als Beispiel wird folgender Funktionsgraph verwendet:

1. Man liest den Ordinatenabschnitt $c=5$ ab.
2. Man sucht einen Punkt des Funktionsgraphen, der möglichst exakt auf einem Gitterpunkt des Koordinatensystems liegt. Hier eignet sich der Punkt $(15\mid 60)$.
3. Man setzt den Ordinatenabschnitt und die Koordinaten des ausgewählten Punktes in die Grundgleichung $y=c\cdot a ^x$ ein und erhält $60 = 5\cdot a^{15}$.
4. Durch Lösen der Gleichung erhält man den Änderungsfaktor $a$. Das Ergebnis lautet $a= \sqrt[15]{\frac{60}{5}} = \sqrt[15]{12} \approx 1{,}1802$.
5. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)\approx 5 \cdot 1{,}1802^x$.

Beispiel: $A(-3\mid 2)$, $B(5 \mid 8)$

1. Es werden die Koordinaten beider Punkte in die Grundgleichung $y=c\cdot a^x$ eingesetzt, wodurch ein Gleichungssystem mit den Gleichungen $2=c\cdot a^{-3}$ und $8 =c\cdot a^5$ entsteht.
2. Es wird eine der beiden Gleichungen nach $c$ umgeformt: $2=c\cdot a^{-3} ~ \Rightarrow ~ c= \frac{2}{a^{-3}} = 2\cdot a^3$.
3. Das Resultat wird anstelle von $c$ in die andere Gleichung eingesetzt: $8 = 2\cdot a^3 \cdot a^5 = 2\cdot a^8$.
4. Durch Lösen der Gleichung wird $a$ ermittelt: $a= \sqrt[8] {\frac{8}{2}} = \sqrt[8] {4} \approx 1{,}1892$.
5. Abschließend wird in die Formel für $c$ (aus Punkt 2) eingesetzt: $c=2\cdot a^3 \approx 2 \cdot 1{,}1892^3 \approx 3{,}3635$.
6. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)\approx 3{,}3635\cdot 1{,}1892^x$.

Entscheidend ist hierfür der Parameter $\lambda$:

• Falls $\lambda > 0$ gilt, ist die Funktion steigend. Beispiel: $f(x)=0{,}3 \cdot e^{0{,}8 \cdot x}$
• Falls $\lambda < 0$ gilt, ist die Funktion fallend. Beispiel: $f(x)=5 \cdot e^{-1{,}2 \cdot x}$

Allgemeine Formeln: $a=e^\lambda$ und $\lambda =\ln(a)$ Herleitung:

1. Da beide Terme äquivalent sein müssen, muss die Gleichung $c\cdot a^x = c\cdot e^{\lambda \cdot x}$ erfüllt sein.
2. Nach Division durch den Faktor $c$ bleibt $a^x = e^{\lambda \cdot x}$ übrig.
3. Setzt man $x=1$ ein, so erhält man $a=e^\lambda$. Damit ist die Herleitung der ersten Formel abgeschlossen.
4. Wird auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus angewendet, so erhält man $\ln(a) = \lambda \cdot \ln(e)$.
5. Wegen $\ln(e)=1$ reduziert sich die Gleichung auf $\ln(a) = \lambda$, wodurch auch die zweite Formel hergeleitet wurde.

Beispiel 1: $f(x)=3\cdot 1{,}2^x \Rightarrow f(x)=3\cdot e^{0{,}1823x}$, Nebenrechnung: $\ln(1{,}2) \approx 0{,}1823$ Beispiel 2: $f(x)=2\cdot e^{-0{,}85x} \Rightarrow f(x)=2\cdot 0{,}4274^x$, Nebenrechnung: $e^{-0{,}85} \approx 0{,}4274$