Es können folgende Änderungsmaße berechnet werden:

• absolute Änderung
• relative Änderung
• prozentuelle Änderung
• mittlere/durchschnittliche Änderungsrate
• momentane/lokale Änderungsrate

Für eine Änderung wird nur der Unterschied der Funktionswerte $\Delta y$ herangezogen (die Veränderung der unabhängigen Variable $x$ spielt keine Rolle). Bei Änderungsraten wird ein Verhältnis zwischen $\Delta y$ und $\Delta x$ ermittelt. Es wird also berechnet, wie sich eine Änderung der unabhängigen Variable $x$ auf die abhängige Variable $y$ auswirkt.

Formel: $f(b)-f(a)$ Bedeutung: Sie beschreibt, um welchen Wert sich die Funktion in diesem Intervall insgesamt ändert. Einheit: Die absolute Änderung besitzt dieselbe Einheit wie die Funktion $f$ selbst.

Formel: $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}$ Bedeutung: Sie beschreibt, um welchen Anteil des Anfangswertes $f(a)$ sich die Funktion insgesamt verändert. Beträgt die relative Änderung $\frac{1}{3}$, so ist die Funktion um ein Drittel ihres Anfangswertes gestiegen. Beträgt sie hingegen $-\frac{1}{4}$, so ist die Funktion um ein Viertel ihres Anfangswertes gesunken. Einheit: Die relative Änderung besitzt keine Einheit (diese wird gekürzt, da Zähler und Nenner dieselbe Einheit besitzen).

Formel: $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)} \cdot 100\,\%$ Die prozentuelle Änderung entspricht im Wesentlichen der relativen Änderung. Sie wird jedoch in Prozent angegeben. Beträgt die prozentuelle Änderung beispielsweise 20 %, so ist der Wert der Funktion um 20 % gestiegen. Beträgt sie hingegen -35 %, so ist der Wert um 35 % gesunken.

Formel: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ Bedeutung: Sie beschreibt, wie sich die Funktion pro Einheit der $x$-Achse durchschnittlich ändert. Ist ihr Wert beispielsweise 3, so steigt die Funktion durchschnittlich um 3 Einheiten, wenn die unabhängige Variable $x$ um eine Einheit vergrößert wird. Alternativbezeichnungen: Die mittlere Änderungsrate wird auch durchschnittliche Änderungsrate bzw. Differenzenquotient genannt. Einheit: Ihre Einheit entspricht der Einheit der Funktion dividiert durch die Einheit der unabhängigen Variable $x$. Wird beispielsweise $f(x)$ in °C gemessen und $x$ in Minuten, so ist die Einheit der mittleren Änderungsrate °C/min.

Formel: $\lim \limits_{b \to a} \frac{f(b)- f(a)}{b - a}$ Bedeutung: Sie entspricht dem Grenzwert einer mittleren Änderungsrate, bei welcher die obere Intervallgrenze $b$ immer weiter an die untere Intervallgrenze $a$ angenähert wird. Alternativbezeichnungen: Die momentane Änderungsrate wird auch lokale Änderungsrate bzw. Differentialquotient genannt. Sie entspricht der ersten Ableitung $f'$ der Funktion $f$. Einheit: Die Einheit ist dieselbe wie jene der mittleren Änderungsrate, also Einheit der Funktion dividiert durch Einheit der unabhängigen Variable $x$.

Mit der Ableitungsfunktion kann für jede beliebige Stelle $x$ die momentane Änderungsrate der Funktion $f$ berechnet werden.

$f'$

Die aktuelle Hochzahl kommt vor die Potenz und die neue Hochzahl ist um 1 kleiner. Beispiel 1: $f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2$ Beispiel 2: $f(x)=x^5 \Rightarrow f'(x)=5x^4$ allgemeine Regel: $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

Zunächst wird die Gleichung umgeformt zu $f(x)=x^{-3}$. Dies ist noch nicht die Ableitungsfunktion, sondern nur eine andere Schreibweise der ursprünglichen Funktion! Nun wird die Potenzregel angewendet und abschließend wieder mit positiver Hochzahl geschrieben: $f'(x)=-3\cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$ Achtung: Bei der Potenzregel wird die Hochzahl um 1 verkleinert, also $-3 -1=-4$. Häufig wird hier fälschlicherweise $-2$ geschrieben, da man intuitiv glauben könnte, dass $-2$ um 1 kleiner ist als $-3$.

Zunächst wird der Funktionsterm in Potenzschreibweise dargestellt, also $f(x)=x^\frac{1}{2}$. Jetzt wird die Potenzregel verwendet: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} $ Zuletzt wird der Term wieder ohne negativen Exponent und mittels Wurzel dargestellt: $f'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$

Für $f(x)=x$ gilt $f'(x)=1$. Begründung 1: Die Funktionsgleichung $f(x)=x$ entspricht einer Gerade mit Steigung 1. Daher hat die Ableitungsfunktion überall den Wert 1. Begründung 2: Man kann den Funktionsterm auch als Potenz schreiben: $f(x)=x^1$. Durch Anwenden der Potenzregel erhält man $f'(x)=1\cdot x^0$. Weil $x^0=1$ gilt, erhält man $f'(x)=1$.

Es gilt $f'(x)=0$. Begründung 1: Die konstante Funktion entspricht einer waagrechten Gerade. Die Steigung (also die 1. Ableitung) hat daher überall den Wert 0. Begründung 2: Man könnte die Funktionsgleichung $f(x)=c$ ergänzen zu $f(x)=c\cdot x^0$, denn $x^0 =1$ und eine Multiplikation mit 1 verändert den Wert des Terms nicht. Durch die Potenzregel ergibt sich $f'(x)=c\cdot 0\cdot x^{-1}=0$.

Die Ableitung ist identisch mit der ursprünglichen Funktion: $f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$

Die Funktionsgleichungen $f(x)=0$ und $f(x)=e^x$ bleiben durch das Bilden der Ableitung unverändert.

Allgemeine Regel: $f(x)=f_1(x)\pm f_2(x) \,\Rightarrow \, f'(x)=f_1'(x) \pm f_2'(x)$ Verbale Beschreibung: Besteht ein Funktionsterm aus der Summe bzw. Differenz mehrerer Terme, so kann jeder Term getrennt abgeleitet werden. Beispiel: $f(x)=4x^3 - 5x^2+8x \,\Rightarrow \, f'(x)=12x^2-10x+8$

Allgemeine Regel: $f(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)\,\Rightarrow\, f'(x)=f_1'(x)\cdot f_2(x)+ f_1(x)\cdot f_2'(x)$ Verbale Beschreibung: Zunächst wird der erste Faktor abgeleitet und der zweite Faktor bleibt unverändert. Anschließend bleibt der erste Faktor unverändert und der zweite Faktor wird abgeleitet. Da in der Formel ein Plus vorkommt, ist es unwichtig, welcher der beiden Faktoren zuerst abgeleitet wird. Die Produktregel muss nur verwendet werden, wenn beide Faktoren die Variable enthalten. Beispiel: $f(x)=x^2 \cdot \sin(x) \,\Rightarrow\, f'(x)=2x\cdot \sin(x) + x^2\cdot \cos(x)$

Beispiel: $f(x)=x^2\cdot x^3$ Diese Funktionsgleichung kann zu $f(x)=x^5$ zusammengefasst werden. Durch die Potenzregel ist daher bekannt, dass die Ableitungsfunktion die Gleichung $f'(x)=5x^4$ besitzen muss. Würde man beide Faktoren getrennt voneinander ableiten, so würde man folgendes Resultat erhalten: $f'(x)=2x\cdot 3x^2=6x^3$. Somit ist gezeigt, dass diese Vorgehensweise falsch ist.

1. Möglichkeit: Man verwendet die Produktregel. 2. Möglichkeit: Man löst die Klammer durch Ausmultiplizieren auf und verwendet die Summenregel.

Allgemeine Regel: $f(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)} \,\Rightarrow \, f'(x)=\frac{f_1'(x)\cdot f_2(x) - f_1(x)\cdot f_2'(x)}{\left( f_2(x)\right)^2}$ Achtung: Im Vergleich zur Produktregel ist hier aufgrund des Minus die Reihenfolge wichtig! Beispiel: $f(x)=\frac{5x^2}{3x-2}\,\Rightarrow \, f'(x)=\frac{10x\cdot (3x-2) - 5x^2 \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{15x^2-20x}{(3x-2)^2}$

Allgemeine Regel: $f(x)=f_1(f_2(x))\,\Rightarrow\, f'(x)=f_1'(f_2(x)) \cdot f_2'(x)$ Verbale Beschreibung: Die Kettenregel wird verwendet, um verschachtelte Funktionen abzuleiten. Zunächst wird die äußere Funktion abgeleitet und die innere Funktion bleibt unverändert (man spricht von der „äußeren Ableitung“). Anschließend wird mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert (man spricht von der „inneren Ableitung“). Beispiel: $f(x)=(5x^2-3x+10)^4\,\Rightarrow\, f'(x)=4\cdot (5x^2-3x+10)^3 \cdot (10x-3)$

Üblicherweise ist die innere Funktion jener Term, in welchem die Variable $x$ vorkommt. Beispiel 1: $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ ... Hier ist die Wurzel $\sqrt{...}$ die äußere Funktion und $x^2+1$ die innere Funktion. Beispiel 2: $f(x)=(4x-5)^3$ ... Hier ist die Potenz $(...)^3$ die äußere Funktion und $4x-5$ die innere Funktion. Beispiel 3: $f(x)=\sin(2x+3)$ ... Hier ist der Sinus $\sin(...)$ die äußere Funktion und $2x+3$ die innere Funktion. Beispiel 4: $f(x)=e^{x^2-3}$ ... Hier ist die Exponentialfunktion $e^{...}$ die äußere Funktion und $x^2-3$ die innere Funktion.

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch zwei Punkte des Funktionsgraphen einer Funktion verläuft. Ihre Funktionsgleichung entspricht jener einer linearen Funktion, also $s(x)=k\cdot x+d$.

Beispiel: Es soll zur Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{x^2}{2}+4$ die Sekantengleichung für das Intervall $[-2; 3]$ bestimmt werden.

1. Es werden die Funktionswerte an den Intervallgrenzen berechnet: $f(-2)=2,~~f(3)=-0{,}5$.
2. Es wird die mittlere Steigung (Differenzenquotient) für dieses Intervall berechnet: $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-0{,}5 - 2}{3-(-2)} = -0{,}5$.
3. Es werden die soeben berechnete Steigung und die Koordinaten von einem der beiden Punkte in die Grundgleichung $s(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt: $2=-0{,}5\cdot (-2)+d$.
4. Es wird $d$ berechnet: $d=2-(-0{,}5)\cdot (-2)=1$.
5. Die Sekantengleichung lautet $s(x)=-0{,}5x+1$.

Eine Tangente ist eine Gerade, die durch einen Punkt des Funktionsgraphen einer Funktion verläuft und dort dieselbe Steigung besitzt, wie die Funktion selbst. Ihre Funktionsgleichung entspricht jener einer linearen Funktion, also $t(x)=k\cdot x+d$.

Beispiel: Es soll zur Funktionsgleichung $f(x)=2x^2+5$ die Tangentengleichung für die Stelle $x=3$ bestimmt werden.

1. Es wird die Ableitungsfunktion $f'$ bestimmt: $f'(x)=4x$.
2. Es wird der Funktionswert und die Steigung an der vorgegebenen Stelle berechnet: $f(3)=2\cdot 3^2+5=23,~~ f'(3)=4\cdot 3=12$.
3. Es werden alle bekannten Werte in die Tangentengleichung $t(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt: $23=12\cdot 3+d$.
4. Es wird $d$ berechnet: $d=23-12\cdot 3 = -13$.
5. Die Tangentengleichung lautet $t(x)=12 x-13$.

Eine Wendetangente ist eine Tangente, die durch einen Wendepunkt einer Funktion verläuft. Ihre Gleichung wird grundsätzlich genauso bestimmt, wie von jeder anderen Tangente. Jedoch ist die Stelle meistens nicht vorgegeben. Es muss als im ersten Schritt berechnet werden, an welcher Stelle sich der Wendepunkt befindet.

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges, also $v(t)=s'(t)$. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit, also $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

m/s² Anstelle des Quadrates kann man auch (m/s)/s schreiben, also m/s pro Sekunde. Eine Beschleunigung von 3 m/s² bedeutet also, dass sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um 3 m/s erhöht.

9,81 m/s²