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Aufgaben zur Rentenrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Rentenrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Barwert, Endwert oder Ratenhöhe berechnen

Jemand nimmt einen Kredit in Höhe von 17.000 € auf. Als Zinssatz werden 8.7 % p.a. vereinbart. Die Schuld soll durch 11 gleich hohe Jahresraten beglichen werden, wobei die erste Ratenzahlung ein Jahr nach der Kreditaufnahme erfolgt. Berechne die Höhe der Raten.

Ratenhöhe: [2]

2. Ratenanzahl berechnen

#520 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erstelle durch händische Umformung aus der Formel für den Endwert einer nachschüssigen Jahresrente eine Formel zur Berechnung der Jahre $n$. $$E_{\text{nach}}=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Eine Schuld von 3500 € soll durch monatliche Raten von 220 € zurückgezahlt werden. Der vereinbarte Monatszinssatz beträgt 0.53 %. Die erste Zahlung erfolgt in genau einem Monat.
a) Berechne die Anzahl der Vollraten.
Anzahl: [0]
b) Berechne den Restbetrag, der gleichzeitig mit der letzten Vollrate bezahlt wird.
Restbetrag: [2]

3. Zinssatz berechnen

Ein neuer Computer kostet 1399 €. Es besteht die Möglichkeit, diesen Betrag durch 12 nachschüssige Monatsraten zu je 121.35 € zu bezahlen. Berechne den effektiven Jahreszinssatz dieser Rente!
effektiver Jahreszinssatz: [2] %

Ein heute aufgenommener Kredit in Höhe von 30000 € soll durch eine nachschüssige Jahresrente mit 10 Raten zu je 3635 € zurückgezahlt werden. Berechne den Zinssatz dieser Rente.
Zinssatz: [2] %

4. Tilgungspläne

Es ist nachfolgend ein Teil eines Tilgungsplanes gegeben.
JahrZinsanteilTilgungsanteilAnnuitätRestschuld
05500 €
1194 € 1196 €
2
a) Berechne den Jahreszinssatz.
Jahreszinssatz: [2] %
b) Vervollständige die zweite und die dritte Zeile des Tilgungsplans.
vollständiger Tilgungsplan:

5. Vermischte Aufgaben

Jemand zahlt 38 Jahre lang jedes Monatsende 50 € auf ein privates Pensionskonto. Der Zinssatz beträgt 1.54 % p.a. Anschließend wird das Angesparte über einen Zeitraum von 13 Jahren in gleichen monatlichen Raten ausbezahlt. Die erste Auszahlung erfolgt ein Monat nach der letzten Einzahlung.
a) Berechne den äquivalenten Monatszinssatz!
Monatszinssatz: [5] %
b) Berechne, welcher Betrag sich unmittelbar nach der letzten Einzahlung am Pensionskonto befindet.
Kontostand: [2]
c) Berechne die Höhe der monatlichen Auszahlungen.
Ratenhöhe: [2]

#701 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ordne den vier Beschreibungen den richtigen Term zu (einer bleibt übrig). Wähle dazu den richtigen Buchstaben aus. Der Zinssatz beträgt für die gesamte Aufgabe $i=5\,\%$ und die Ratenhöhe ist jeweils 200 €.
Barwert einer vorschüssigen Semesterrente mit einer Laufzeit von 5 Jahren:
Endwert einer nachschüssigen Jahresrente mit einer Laufzeit von 10 Jahren:
Barwert einer nachschüssigen Monatsrente mit insgesamt 10 Raten:
Endwert einer vorschüssigen Semesterrente mit insgesamt 10 Raten:
$$(\mathrm{A})~~ 200\cdot \frac{\sqrt{1{,}05}^{10}-1}{\sqrt{1{,}05}-1}\cdot \sqrt{1{,}05}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\mathrm{B})~~ 200\cdot \frac{1{,}05^{10}-1}{1{,}05-1}~~~~~~~~~~~~~~~~~(\mathrm{C})~~ 200\cdot \frac{\sqrt[12]{1{,}05}^{10}-1}{\sqrt[12]{1{,}05}-1}$$
$$(\mathrm{D})~~ 200\cdot \frac{\sqrt{1{,}05}^{10}-1}{\sqrt{1{,}05}-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1{,}05}^9}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\mathrm{E})~~ 200\cdot \frac{1-\sqrt[12]{1{,}05}^{-10}}{\sqrt[12]{1{,}05}-1}$$

In unterschiedlichen Büchern findet man häufig unterschiedliche Formeln für ein und dieselbe Sache. Beispielsweise gibt es für die Berechnung des Barwerts einer vorschüssigen Rente folgende Formeln: $$B_1=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}\cdot \frac{1}{q^{n-1}} \hspace{3cm} B_2=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}\cdot q^{1-n} \hspace{3cm} B_3=R \cdot \frac{1-q^{-n}}{q-1}\cdot q$$ Zeige durch mathematische Umformungen und dazu passende Erklärungen, dass diese drei Formeln tatsächlich gleichwertig sind.
Nachweis für $B_1=B_2$ (inkl. Erklärungen):
Nachweis für $B_2=B_3$ (inkl. Erklärungen):