Ein Chemieunternehmen füllt einen bestimmten Stoff in Gefäße, welche anschließend verkauft werden. Der Erwartungswert der Füllmenge beträgt 28.3 L und die Standardabweichung beträgt 125 mL. a) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Abfüllmenge höchtens 0,2 % unter dem Erwartungswert liegt. b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Abweichung vom Erwartungswert höchstens 0,2 % beträgt.

Die Dauer bis Chilisamen einer bestimmten Sorte keimen, entspricht näherungsweise einer Normalverteilung mit den Parametern $\mu=6.7$ Tage und $\sigma=2.4$ Tage. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Samen nach höchstens acht Tagen keimt. b) Jemand pflanzt 6 Samen dieser Sorte. Wie wahrscheinlich ist es, dass nach acht Tagen alle 6 Samen gekeimt haben? Es wird vorausgesetzt, dass keine schadhaften Samen dabei sind, die überhaupt nicht keimen.

Ein Eierproduzent hat ermittelt, dass die Masse der Eier seiner Hühner normalverteilt ist. Der Erwartungswert beträgt 58.5 g und die Standardabweichung 3.3 g. Er möchte die Eier in drei Klassen (Klein, Mittel, Groß) anbieten, wobei jede Klasse einem Drittel der gesamten Eierproduktion entsprechen soll. Bestimme die beiden Grenzen zwischen den Klassen!

Die Hochsprungleistungen von Schülerinnen einer bestimmten Altersgruppe sind normalverteilt mit $\mu=75.8\,\mathrm{cm}$ und $\sigma=7.9\,\mathrm{cm}$. Damit man ein bestimmtes Sportabzeichen erhält, muss man zu den besten 30 % dieser Altersgruppe gehören. Welche Leistung muss man dazu erbringen? Hinweis: Im Hochsprung sind nur ganzzahlige Ergebnisse möglich. Runde daher auf die nächste ganze Zahl auf.

Es werden Reispackungen abgefüllt, welche laut Hersteller 500 g Reis enthalten. Die dafür zuständige Maschine hat eine Standardabweichung von 2.8 g. Auf welchen Erwartungswert muss die Abfüllmaschine eingestellt werden, damit nur 2.5 % der Packungen zu wenig Inhalt haben?

Eine umfangreiche Stichprobe hat ergeben, dass der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable den Wert 120 hat. Insgesamt lagen 2 % der Werte unter 110. Berechne die Standardabweichung dieser Zufallsvariable.

Das Körpergewicht von erwachsenen Männern kann durch eine Normalverteilung mit den Parametern $\mu = 78$ kg und $\sigma=14$ kg beschrieben werden. Sieben erwachsene Männer betreten einen Aufzug. Betrachte das Körpergewicht der einzelnen Personen als unabhängig. a) Berechne $\mu$ und $\sigma$ der Summe des Körpergewichts aller sieben Personen. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie insgesamt die erlaubten 600 kg nicht überschreiten?

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwangere Frau Zwillinge bekommt, beträgt ungefähr 1,55 %. In Österreich gibt es pro Jahr etwa 85.000 Geburten. Grundsätzlich wäre diese Aufgabe mittels Binomialverteilung zu lösen. Aufgrund der großen Anzahl ist es jedoch sinnvoll, diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung zu approximieren. a) Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zwillingsgeburten pro Jahr. b) Berechne jenes symmetrische Intervall um den Erwartungswert, in welchem die Anzahl an Zwillingsgeburten mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % liegt.

In Österreich sind 0,012 % aller Menschen über 100 Jahre alt. In einer Stadt leben 86.000 Menschen. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Einwohner dieser Stadt, die älter als 100 Jahre sind. a) Für eine derart große Stichprobe ist der Binomialkoeffizient (auch für Computerprogramme) schwierig zu berechnen. Daher soll bei dieser Aufgabe die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Berechne die Parameter $\mu$ und $\sigma$ dieser Normalverteilung. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 13 Menschen in dieser Stadt über 100 Jahre alt ist?

Laut EU-Verordnung Nr. 2257/94 müssen Bananen, die in der EU produziert werden oder in diese eingeführt werden, eine Länge von mindestens 14 cm besitzen. Ein Produzent hat ermittelt, dass die Länge seiner Bananen näherungsweise einer Normalverteiltung mit Erwartungswert 16.6 cm und Standardabweichung 16 mm entspricht. a) Welcher Anteil der produzierten Bananen liegt unterhalb der 14-Zentimeter-Grenze? b) Der Bananenproduzent sortiert die zu kurzen Bananen nicht aus sondern versucht, diese ebenfalls zu verkaufen. Bei der Kontrolle der Lieferung werden 30 zufällige Bananen ausgewählt. Sind drei oder mehr Bananen zu kurz, wird die gesamte Lieferung abgelehnt. Berechne (mittels Binomialverteilung) mit welcher Wahrscheinlichkeit die Lieferung abgelehnt wird.

Die Arbeitsdauer von Schülern bei einer Schularbeit ist näherungsweise normalverteilt mit den Parametern $\mu = 40\,\mathrm{min}~30\,\mathrm{s}$ und $\sigma= 5\,\mathrm{min}~30\,\mathrm{s}$. Welcher Anteil der Schüler (gemessen in Prozent) ist nach 50 Minuten nicht fertig?

Die Dicke von Holzbrettern entspricht einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$. Zu dünne Holzbretter werden aussortiert und als „Ausschuss“ bezeichnet. Der Anteil des Ausschusses wird in den nachfolgenden Abbildungen als blaue Fläche dargestellt. a) Beschreibe, wie sich der Anteil des Ausschusses ändert, wenn $\mu$ verkleinert wird un $\sigma$ unverändert bleibt und zeichne die neue Dichtefunktion ein.

b) Beschreibe, wie sich der Anteil des Ausschusses ändert, wenn $\sigma$ verkleinert wird un $\mu$ unverändert bleibt und zeichne die neue Dichtefunktion ein.

Nachfolgend ist der Graph der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable dargestellt. Ermittle den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ möglichst genau.

Nachfolgend ist der Graph der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable dargestellt.

Ermittle jenes um den Erwartungswert symmetrische Intervall $[a; b]$, in dem 70 % aller Elemente liegen.

Der Inhalt von Getränkedosen entspricht näherungsweise einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu= 303.6\, \mathrm{mL}$ und der Standardabweichung $\sigma= 4.1\, \mathrm{mL}$. a) Fülle die drei Kästchen der folgenden Abbildung aus, sodass die Dichtefunktion der oben beschriebenen Normalverteilung entspricht.

b) Ermittle, welcher Anteil aller hergestellten Dosen weniger als 300 mL Inhalt besitzt. c) Ermittle jenes symmetrische Intervall um den Erwartungswert, in dem der Inhalt einer zufällig ausgewählten Dose mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % liegt.

Die Dauer einer Schwangerschaft kann näherungsweise als normalverteilt betrachtet werden, wobei der Erwartungswert 280 Tage und die Standardabweichung 15 Tage beträgt. Ein Baby wurde am 25. September 2019 geboren. a) Welches Datum war 280 Tage vor der Geburt? b) Berechne jenen symmetrischen Bereich um den Erwartungswert, in welchem die Befruchtung mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % stattgefunden hat. Gib das Ergebnis als Datumsintervall an. c) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Befruchtung im Dezember 2018 stattgefunden hat.

Die Mitglieder eines Laufclubs sollen anhand ihrer 5-Kilometer-Bestleistung in drei gleich große Trainingsgruppen eingeteilt werden. Die Bestleistung wird als normalverteilt angenommen. Der Erwartungswert der Bestleistung aller Mitglieder beträgt 26.6 min und die Standardabweichung beträgt 4.4 min. a) Berechne die Grenzen zwischen den drei Trainingsgruppen. b) Stefans Bestwert beträgt 20 min 53 s. Berechne, wie viel Prozent der Mitglieder besser als Stefan sind.

Es werden elektrische Widerstände mit dem Nennwert 1.2 kΩ. Durch den Produktionsprozess ergeben sich geringfügige Abweichungen, die normalverteilt sind und eine Standardabweichung von 20 Ω aufweisen. Der Erwartungswert entspricht dem Nennwert. Verkauft werden die Widerstände mit einer Toleranz von 2 %. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufälliger Widerstand um mehr als 2 % vom Nennwert abweicht?