Aufgaben zu natürlichen Zahlen
Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu natürlichen Zahlen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Teilbarkeit
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Beantworte die folgenden Fragen anhand der Teilbarkeitsregeln. Schreibe jeweils einen vollständigen Satz als Begründung.
a) Ist 7324 durch 4 teilbar?
b) Ist 7012 durch 6 teilbar?
c) Ist 7654 durch 9 teilbar?2. Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte „Starke Goldbachsche Vermutung“. Diese besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $18=13+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 18 könnte man ebenfalls als $11+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle geraden Zahlen größer als 2 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 50, 300 und 1000 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen findest.
Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die „Schwache Goldbachsche Vermutung“. Diese besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $15=5+5+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 15 könnte man ebenfalls als $3+5+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle ungeraden Zahlen größer als 5 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 99 und 333 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen findest.
#1196 |
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Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl 13013.3. GGT und KGV
Bestimme jeweils den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache:
a) 720, 936
b) 2970, 4050
c) 12, 48, 72, 84
Ermittle die kleinste natürliche Zahl, die durch 54, 63 und 15 teilbar ist.
Lisa hat sich vorgenommen, in Zukunft folgenden Plan zu befolgen:
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Alle 14 Tage möchte sie ihr Zimmer gründlich aufräumen. ▪
Alle 10 Tage möchte sie ihr Aquarium reinigen. ▪
Alle 30 Tage möchte sie die Daten auf ihrem Computer sichern.
Sie beginnt heute damit und erledigt alle drei Tätitgkeiten. In wie vielen Tagen würden das nächste Mal alle drei Tätigkeiten zusammenkommen?
Für zwei beliebige natürliche Zahlen $a$ und $b$ gilt der Zusammenhang $a\cdot b = \mathrm{GGT}(a,b)\cdot \mathrm{KGV}(a,b)$. Überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage für die Zahlen $a=20$ und $b=65$.
Der Boden eines rechteckigen Zimmers mit den Seitenlängen 340 cm und 360 cm soll mit quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Für eine bessere Optik sollen dazu nur ganze Fliesen verwendet werden, d. h. es sollen am Zimmerrand keine Fliesen zugeschnitten werden. Was sind die größtmöglichen Fliesen, die verwendet werden können?
Es ist bekannt, dass der GGT von 3288 und 7224 der Zahl 24 entspricht. Beschreibe, wie man durch Verwendung dieser Information das KGV berechnen kann und führe diese Berechnung anschließend durch.
#1333 |
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Ein rechteckiges Grundstück mit den Seitenlängen 24 m und 16,8 m soll eingezäunt werden. Dabei soll zwischen zwei aneinandergrenzenden Pfosten immer der gleiche Abstand sein und es sollen möglichst wenige Pfosten verwendet werden. Welcher Abstand muss dazu verwendet werden? Gib das Ergebnis in Metern an!#1334 |
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Autobus A fährt in Intervallen von jeweils 20 min. Bei Autobus B betragen die Intervalle 25 min. Um 13:13 Uhr fahren beide Busse gleichzeitig. Zu welcher Uhrzeit werden sie das nächste Mal gleichzeitig fahren? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.#1335 |
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Ein Unternehmen hat drei große Maschinen. Maschine A muss alle 10 Tage gewartet werden, Maschine B alle 30 Tage und Maschine C alle 25 Tage. Heute wurden alle drei Maschinen gewartet. In wie vielen Tagen müssen das nächste Mal alle drei Maschinen am selben Tag gewartet werden?4. Vermischte Aufgaben
Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Begründe mathematisch korrekt, warum für jede natürliche Zahl $n\geq 5$ die letzte Ziffer von $n!$ immer $0$ ist.
Begründe, warum für jede natürliche Zahl gilt, dass das Quadrat dieser Zahl um 1 größer ist als das Produkt der beiden Nachbarzahlen. Beispielsweise ist $10^2 = 100$ und $9 \cdot 11 = 99$.