Die Zahl 9503 ist durch 17 teilbar. Warum kann man anhand dieser Information mit Sicherheit sagen, dass die Zahl 9509 nicht durch 17 teilbar ist?

Die Zahl 6552 ist durch 7 teilbar. Warum kann man anhand dieser Information mit Sicherheit sagen, dass die Zahl 6559 auch durch 7 teilbar ist?

Ein Schaltjahr liegt grundsätzlich vor, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist. Eine Ausnahmeregelung gilt jedoch, wenn sie auch durch 100 geteilt werden kann. In diesem Fall muss die Jahreszahl zusätzlich durch 400 teilbar sein. Kreuze an, welche der folgenden Jahre ein Schaltjahr waren bzw. sein werden. ▢  1900 ▢  1954 ▢  1984 ▢  2000 ▢  2010

Kreuze nachfolgend alle wahren Aussagen an. ▢  Ist die Einerstelle einer Zahl entweder 3, 6 oder 9, so ist diese Zahl durch 3 teilbar. ▢  Jede natürliche Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 30 teilbar. ▢  Die Zahl 1623 ist durch 3 teilbar, weil ihre letzte Ziffer durch 3 teilbar ist. ▢  Jede natürliche Zahl, die durch 35 teilbar ist, ist auch durch 7 teilbar. ▢  Wenn die Zahl $n$ durch 19 teilbar ist, dann ist auch $n + 19$ durch 19 teilbar.

Beantworte die folgenden Fragen anhand der Teilbarkeitsregeln. Schreibe jeweils einen vollständigen Satz als Begründung. a) Ist 7324 durch 4 teilbar? b) Ist 7012 durch 6 teilbar? c) Ist 7654 durch 9 teilbar?

Kreuze nachfolgend alle Primzahlen an. Falls es sich um keine Primzahl handelt, gib stattdessen die Primfaktorzerlegung an. ▢  101 ▢  1001 ▢  10101

Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte „Starke Goldbachsche Vermutung“. Diese besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $18=13+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 18 könnte man ebenfalls als $11+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle geraden Zahlen größer als 2 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 50, 300 und 1000 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen findest.

Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die „Schwache Goldbachsche Vermutung“. Diese besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $15=5+5+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 15 könnte man ebenfalls als $3+5+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle ungeraden Zahlen größer als 5 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 99 und 333 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen findest.

Kreuze nachfolgend alle wahren Aussagen an. ▢  Es gibt unendlich viele Primzahlen. ▢  Alle Primzahlen sind ungerade. ▢  Mehr als ein Drittel aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen. ▢  Weniger als die Hälfte aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl 13013.

Bestimme jeweils den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache: a) 720, 936 b) 2970, 4050 c) 12, 48, 72, 84

Ermittle die kleinste natürliche Zahl, die durch 54, 63 und 15 teilbar ist.

Lena hat sich vorgenommen, in Zukunft folgenden Plan zu befolgen:   ▪  Alle 14 Tage möchte sie ihr Zimmer gründlich aufräumen.  ▪  Alle 10 Tage möchte sie ihr Aquarium reinigen.  ▪  Alle 30 Tage möchte sie die Daten auf ihrem Computer sichern. Sie beginnt heute damit und erledigt alle drei Tätitgkeiten. In wie vielen Tagen würden das nächste Mal alle drei Tätigkeiten zusammenkommen?

Für zwei beliebige natürliche Zahlen $a$ und $b$ gilt der Zusammenhang $a\cdot b = \mathrm{GGT}(a,b)\cdot \mathrm{KGV}(a,b)$. Überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage für die Zahlen $a=20$ und $b=65$.

Der Boden eines rechteckigen Zimmers mit den Seitenlängen 340 cm und 360 cm soll mit quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Für eine bessere Optik sollen dazu nur ganze Fliesen verwendet werden, d. h. es sollen am Zimmerrand keine Fliesen zugeschnitten werden. Was sind die größtmöglichen Fliesen, die verwendet werden können?

Es ist bekannt, dass der GGT von 3288 und 7224 der Zahl 24 entspricht. Beschreibe, wie man durch Verwendung dieser Information das KGV berechnen kann und führe diese Berechnung anschließend durch.

Finde die kleinste sechsstellige natürliche Zahl, welche durch 11, 16 und 29 teilbar ist.

Kreuze nachfolgend alle wahren Aussagen an. ▢  Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen. ▢  Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen. ▢  Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die größere der beiden Zahlen. ▢  Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die größere der beiden Zahlen. ▢  Das größte gemeinsame Vielfache von beliebig vielen natürlichen Zahlen kann nicht größer sein, als das Produkt all dieser Zahlen. ▢  Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des Abstandes dieser Zahlen. ▢  Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen kann höchstens so groß sein, wie der Abstand dieser Zahlen. ▢  Der größte gemeinsame Teiler zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer 1. ▢  Der größte gemeinsame Teiler beliebiger natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

Ein rechteckiges Grundstück mit den Seitenlängen 24 m und 16,8 m soll eingezäunt werden. Dabei soll zwischen zwei aneinandergrenzenden Pfosten immer der gleiche Abstand sein und es sollen möglichst wenige Pfosten verwendet werden. Welcher Abstand muss dazu verwendet werden? Gib das Ergebnis in Metern an!

Autobus A fährt in Intervallen von jeweils 20 min. Bei Autobus B betragen die Intervalle 25 min. Um 13:13 Uhr fahren beide Busse gleichzeitig. Zu welcher Uhrzeit werden sie das nächste Mal gleichzeitig fahren? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Ein Unternehmen hat drei große Maschinen. Maschine A muss alle 10 Tage gewartet werden, Maschine B alle 30 Tage und Maschine C alle 25 Tage. Heute wurden alle drei Maschinen gewartet. In wie vielen Tagen müssen das nächste Mal alle drei Maschinen am selben Tag gewartet werden?

Kreuze nachfolgend alle wahren Aussagen an. ▢  Das Produkt zweier gerader Zahlen ist gerade. ▢  Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist gerade. ▢  Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade. ▢  Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.

Die Primfaktorzerlegung der Zahl 27720 lautet $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$. Begründe, wie man anhand dieser Information erkennen kann, dass die Zahl durch 33 teilbar ist.

Kreuze nachfolgend alle wahren Aussagen an. ▢  Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade. ▢  Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade. ▢  Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.

Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Begründe mathematisch korrekt, warum für jede natürliche Zahl $n\geq 5$ die letzte Ziffer von $n!$ immer $0$ ist.

Begründe, warum für jede natürliche Zahl gilt, dass das Quadrat dieser Zahl um 1 größer ist als das Produkt der beiden Nachbarzahlen. Beispielsweise ist $10^2 = 100$ und $9 \cdot 11 = 99$.

Multipliziert man eine beliebige Zahl mit 31, so hat das Ergebnis dieser Multiplikation dieselbe Einerstelle wie die ursprüngliche Zahl. Begründe, warum das so ist.