Bestimme die Parameter $k$ und $d$, sodass der Funktionsgraph der linearen Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ durch die vorgegebenen Punkte verläuft. a) $A(3.4 \mid 5.5)$ und $B(5.4 \mid 2.1)$ b) $S(-2.2 \mid 1.6)$ und $T(4.2 \mid -3.4)$

Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden linearen Funktionen $f$ und $g$, welche folgende Eigenschaften erfüllen.   ▪ Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist der Punkt $(-2.5\mid 2.6)$.   ▪ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse beim Wert 4.9.   ▪ Die Nullstelle von Funktion $g$ ist an der Stelle 6.

Kreuze jeweils an, ob es sich um einen linearen Zusammenhang handelt oder nicht. linear nicht linear Der Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit der Seitenlänge $a$, wenn die Seitenlänge $b$ unverändert bleibt. linear nicht linear Die Stromkosten in Abhängigkeit vom Energiebedarf in Kilowattstunden bei einem Tarif mit fixer Grundgebühr und fixen Kosten pro Kilowattstunde. linear nicht linear Der Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit vom Radius. linear nicht linear Die Anzahl an Einwohnern einer Gemeinde in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Einwohneranzahl jährlich um 1,5 % zunimmt.

Beweise, dass für jede reelle Zahl $a$ und jede lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ die folgende Eigenschaft erfüllt ist: $$\frac{f(a)+f(-a)}{2}=d$$

Begründe jeweils, ob es sich bei den Varianten $I(R)=\frac{U}{R}$ und $I(U)=\frac{U}{R}$ des Ohmschen Gesetzes um eine lineare Funktion handelt.

Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen auf kariertes Papier und beschrifte die Graphen. Als Skalierung soll pro Kästchen 0,5 verwendet werden. a) $\,\,f(x)=3-1.5x$ b) $\,\,g(x)=\frac{3}{4}\,x-1$ c) $\,\,h(x)=0.6x$

Nachfolgend sind drei Funktionsgraphen von linearen Funktionen abgebildet. Ermittle jeweils die zugehörige Funktionsgleichung.

Berechne jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen. a) $~f(x)=-5.1x+35$ b) $~g(x)=\frac{3}{2}x-6.3$ c) $~h(x)=52x+3451$

Es sind die Funktionsgleichungen $f(x)=3.1x+45$ und $g(x)=-1.9x+476$ gegeben. Berechne beide Koordinaten des Schnittpunkts dieser Funktionen.

Jemand wartet darauf, dass der Download seines neuen Computerspiels abgeschlossen ist. Vor 50 Minuten fehlten noch 8.1 GB. Aktuell fehlen noch 5.1 GB. Es wird angenommen, dass die Downloadgeschwindigkeit konstant ist, also ein linearer Zusammenhang zwischen fehlender Datenmenge und Zeit besteht. a) Wie viel wird in 30 Minuten noch fehlen? b) In wie vielen Minuten wird der Download abgeschlossen sein?

Eine 12.3 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.58 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:12 Uhr betrug der Wasserstand 55 cm. Um 16:48 Uhr betrug er 1.18 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.68 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2034 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

Eine aktuell 15.5 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 11 mm. a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 5.8 Stunden noch sein? b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?

Eine Kerze brennt pro Stunde 2.5 cm nieder. Zu Beginn ist sie 29 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 17 Jahren eine Höhe von 0.81 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 0.96 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

Die Einwohnerzahl der Türkei wuchs in den letzten Jahrzehnten annähernd linear und kann durch die Funktion $E(t)=0{,}96t+64{,}23$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die Zeit in Jahren beginnend am 1. Jänner 2000 und $E(t)$ für die zugehörige Einwohnerzahl (in Millionen). Die Bevölkerung Deutschlands liegt seit 1995 fast konstant bei 82 Millionen Einwohnern. In welchem Jahr werden laut diesem Modell beide Länder gleich viele Einwohner haben?

Herr Maier hat derzeit 768 Liter Heizöl in seinem Tank und benötigt pro Tag ungefähr 5.8 Liter. Frau Kern hat aktuell 1147 Liter Heizöl in ihrem Tank und benötigt pro Tag ca. 12.2 Liter. a) In wie vielen Tagen werden beide Personen gleich viel Öl in ihren Tanks haben? b) Für wie viele Tage reicht Herrn Maiers Vorrat noch? c) Frau Kern möchte neues Heizöl bestellen, wenn sie nur noch 250 Liter im Tank hat. In wie vielen Tagen wird es soweit sein?

Es stehen die folgenden beiden Stromtarife zur Auswahl:   ▪  Tarif A: Grundgebühr: 5.8 €, Kosten pro kWh: 8.3 c  ▪  Tarif B: Grundgebühr: 7.6 €, Kosten pro kWh: 4.1 c a) Ermittle jenen Energiebedarf („Stromverbrauch“) in Kilowattstunden (kWh), bei dem beide Tarife gleichwertig sind sowie den zughörigen Preis. b) Wie groß ist der Preisunterschied bei 125 kWh?

Herr Müller möchte Holzpellets kaufen. Er findet im Internet zwei passende Angebote:   ▪  Bei Angebot A betragen die Lieferkosten 40 € und der Preis pro Kilogramm 75 Cent.  ▪  Bei Angebot B betragen die Lieferkosten 61 € und der Preis pro Kilogramm 46 Cent. Berechne, ab welcher Menge Angebot B besser wäre!

Die Gesamtkosten für die Herstellung eines bestimmten Produkts lassen sich durch eine lineare Funktion beschreiben. Für 718 Stück betragen die Kosten 3237 € und für 2182 Stück sind es 4347 €. a) Bestimme die Parameter $k$ und $d$ der Kostenfunktion $K(x)=k\cdot x+ d$. b) Der Verkaufspreis beträgt 4.6 € pro Stück. Berechne den Break-Even-Point. Runde auf ganze Stück auf!

Nachfolgend sind die Funktionsgraphen der Kostenfunktion $K$ (rot) und der Erlösfunktion $E$ (blau) abgebildet.

a) Bestimme die nachfolgenden Kennzahlen möglichst genau: Verkaufspreis: Fixkosten: variable Kosten: Break-Even-Point: b) Zeichne den Graph der Gewinnfunktion in das oben abgebildete Koordinatensystem.

Ein Unternehmen produziert Tiefkühlpizzen. Die monatlichen Fixkosten betragen 12100 € und die variablen Kosten liegen bei 1.63 €/Stück. Verkauft wird das Produkt um 3.20 €/Stück. a) Bestimme die Funktionsgleichungen der linearen Kostenfunktion $K$, der Erlösfunktion $E$ und der Gewinnfunktion $G$. b) Wie viele Pizzen müssen pro Monat verkauft werden, damit alle Kosten gedeckt sind? c) Durch eine Optimierung des Produktionsprozesses konnten die Fixkosten um 100 € gesenkt werden und die variablen Kosten um 9 % reduziert werden. Bestimme die neue Kostenfunktion und den neuen Break-Even-Point (bei gleich bleibendem Verkaufspreis). Runde die neuen variablen Kosten auf vier Nachkommastellen, damit der neue Break-Even-Point möglichst genau wird.

Für die Herstellung eines Produktes sind folgende Informationen bekannt:   ▪  Die Gesamtkosten für 1200 Stück betragen 1243 €.  ▪  Die Gesamtkosten für 3400 Stück betragen 1725 €. a) Bestimme die zugehörige lineare Kostenfunktion. b) Welcher Verkaufspreis muss festgelegt werden, damit die Produktion ab 2500 Stück kostendeckend ist?

Die Donau hat zwischen Linz und Wien eine Länge von 215 km. Ein Schiff startet um 13:40 Uhr in Linz und fährt Richtung Wien mit einer Geschwindigkeit von 17.7 km/h. Zur selben Uhrzeit startet ein anderes Schiff von Wien Richtung Linz mit einer Geschwindigkeit von 10.6 km/h. a) Erstelle ein Weg-Zeit-Diagramm, welches die Entfernung der beiden Schiffe von Wien veranschaulicht. b) Zu welcher Uhrzeit fahren die beiden Schiffe aneinander vorbei? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an! c) In welcher Entfernung von Wien findet das Aufeinandertreffen statt? d) Zu welcher Uhrzeit erreicht das Linzer Schiff Wien? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an!

Philipp und Clemens fahren mit dem Rad vom selben Ort weg in dieselbe Richtung. Philipp beginnt um 14:30 Uhr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 17.1 km/h. Clemens startet um 10 Minuten später und fährt mit 22.4 km/h. a) Erstelle eine vollständig beschriftete Skizze eines Weg-Zeit-Diagramms, welches beide Aktivitäten veranschaulicht. b) Zu welcher Uhrzeit (im Format HH:MM) und in welcher Entfernung vom Startpunkt treffen sie sich?

Bei einem Trainingsspiel soll Philipp 3000 m laufen. Der langsamere Markus erhält 240 m Vorsprung auf Philipp. Das heißt, er startet weiter vorne und muss daher weniger als 3000 m laufen. Beide starten zur selben Zeit. Philipp läuft mit 14.4 km/h und Markus mit 12.6 km/h. a) Wie weit vor der Ziellinie wird Markus von Philipp eingeholt? Achte auf die Einheiten! b) Wie schnell müsste Markus mindestens laufen, um das Ziel vor Philipp zu erreichen?

Bestimme die Funktionsgleichung $f(x)=k\cdot x+d$ einer linearen Funktion, deren Graph senkrecht auf den Graphen der Funktion $g(x)=-1.5 \cdot x+4.7$ steht und durch den Punkt $P(\,4 \mid 1\,)$ verläuft.

Die Gerade $f$ verläuft durch die Punkte $A(-4\mid -2)$ und $B(5\mid 3)$. Die Gerade $g$ ist parallel zu $f$ und verläuft durch den Punkt $C(1 \mid 5)$. Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von $g$.

In Österreich gibt es seit 2021 bei der Einkommensteuer sieben Tarifzonen, von denen die ersten vier folgendermaßen aussehen:   ▪  0 % für jenen Teil bis 11.000 €  ▪  20 % für jenen Teil zwischen 11.000 € und 18.000 €  ▪  35 % für jenen Teil zwischen 18.000 € und 31.000 €  ▪  42 % für jenen Teil zwischen 31.000 € und 60.000 € a) Erstelle die Funktionsgleichung einer stückweise lineare Funktion, die jedem Bruttojahreseinkommen zwischen 0 und 60.000 € das zugehörige Nettojahreseinkommen zuordnet. b) Zeichne den Funktionsgraphen dieser Funktion im Intervall $[0, 60\,000]$ entweder auf Papier oder mit einem geeigneten Computerprogramm. c) Berechne das Nettojahreseinkommen einer Person, die ein Bruttojahreseinkommen von 37200 € hat. d) Frau Hofer hatte letztes Jahr ein Nettojahreseinkommen von 31500 €. Wie hoch war ihr Bruttojahreseinkommen?

Bestimme die Funktionsgleichung des abgebildeten Funktionsgraphen.

Zeichne den Funktionsgraphen der folgenden stückweise definierten Funktion. $$f(x)= \begin{cases} \frac{3}{4}x+4,& \textrm{falls }x\in [-5,-2)\\ 2x-3,& \textrm{falls }x\in [-2,1)\\ -\frac{1}{4}x+5,& \textrm{falls }x\in [1,5]\\ \end{cases} $$

Die bei uns gebräuchliche Temperatureinheit Grad Celsius (°C) kann anhand der linearen Funktion $y(x) = \frac{9}{5}\,x + 32$ in die in den USA verbreitete Temperatureinheit Grad Fahrenheit (°F) umgerechnet werden, wobei $x$ die Temperatur in Grad Celsius angibt und $y$ die Temperatur in Grad Fahrenheit. a) Berechne, bei wie viel Grad Celsius die Fahrenheit-Skala ihren Nullpunkt hat. b) Ermittle die Umkehrfunktion, also jene Funktion, die zur Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius verwendet werden kann.

Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.9 - 0.08t$ und $h_B(t) = 0.13t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist. a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A? b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist. c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?

Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = 3 + 5x$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Der Punkt $(\,2 \mid 11\,)$ liegt unterhalb des Funktionsgraphen von $f$. wahr falsch Der Graph der Funktion $g(x) = 0{,}2x + 1$ steht normal auf den Graphen von $f$. wahr falsch Der Funktionsgraph von $f$ schneidet die vertikale Achse bei 5. wahr falsch Die Nullstelle von $f$ ist bei $x=2$. wahr falsch Der Graph von $h(x) = 5x - 1$ ist parallel zu jenem von $f$.

Die Einwohnerzahl einer Stadt hat sich folgendermaßen entwickelt:   ▪  2006: 32105 Einwohner  ▪  2011: 35005 Einwohner  ▪  2020: 42403 Einwohner a) Überprüfe und begründe nachvollziehbar, ob es sich um ein lineares Bevölkerungswachstum handelt. b) Wie viele Einwohner müssten 2020 in dieser Stadt leben, damit es sich um ein lineares Wachstum handeln würde?

Es sind nachfolgend drei Wertepaare vorgegeben:   ▪  $x=1.1,\,\,\,y=3$  ▪  $x=4,\,\,\,y=4.5$  ▪  $x=12.9,\,\,\,y=7.5$ a) Überprüfe nachweislich, ob es sich bei diesen Wertepaaren um einen linearen Zusammenhang handelt. Beschreibe das Ergebnis der Überprüfung durch einen vollständigen Satz. b) Welchen $y$-Wert müsste der dritte Punkt haben, damit es sich um einen linearen Zusammenhang handeln würde?