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Aufgaben zu linearen Funktionen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Funktionen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form $f(x)=k\cdot x+d$, wobei $k$ als Steigung und $d$ als Ordinatenabschnitt bzw. $y$-Achsenabschnitt bezeichnet wird. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Je nachdem, welches Vorzeichen die Steigung $k$ besitzt, ist diese Gerade nach rechts ansteigend (bei positiver Steigung) bzw. nach rechts abfallend (bei negativer Steigung). Zu den Grundtechniken im Umgang mit linearen Funktionen gehört das Zeichnen des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand von zwei Punkten, das Berechnen der Nullstelle anhand der Funktionsgleichung und das Berechnen des Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen.

Anwendungsgebiete

Bei einer linearen Funktion führen gleiche Änderungen der unabhängigen Variable (Zeit, Menge, Stückzahl, ...) stets zu gleichen Änderungen des Funktionswertes. Somit ergeben sich hier vielfältige Anwendungsbereiche: diverse Wachstumsprozesse (z. B. Bevölkerung oder Pflanzen), der Fortschritt diverser Handlungen (z. B. Download oder Füllen eines Beckens), wirtschaftliche Anwendungen (z. B. Tarife oder Produktionskosten) und physikalische Sachverhalte (z. B. der zurückgelegte Weg bei konstanter Geschwindigkeit).

1. Allgemeine Aufgaben

Bestimme die Parameter $k$ und $d$, sodass der Funktionsgraph der linearen Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ durch die vorgegebenen Punkte verläuft.
a) $A(3.3 \mid 4.3)$ und $B(6.1 \mid 2.5)$
$k=$ [2]
$d=$ [2]
b) $S(-1.7 \mid 1.4)$ und $T(4 \mid -3.7)$
$k=$ [2]
$d=$ [2]

Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden linearen Funktionen $f$ und $g$, welche folgende Eigenschaften erfüllen. Gib einen vollständigen Lösungsweg an!
  ▪ Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist der Punkt $(-1.7\mid 2.8)$.
  ▪ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse beim Wert 4.8.
  ▪ Die Nullstelle von Funktion $g$ ist an der Stelle 4.6.
Funktionsgleichung von $f$ (inkl. Lösungsweg):
Funktionsgleichung von $g$ (inkl. Lösungsweg):

#274 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Kreuze jeweils an, ob es sich um einen linearen Zusammenhang handelt oder nicht.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit der Seitenlänge $a$, wenn die Seitenlänge $b$ unverändert bleibt.
Die Stromkosten in Abhängigkeit vom Energiebedarf in Kilowattstunden bei einem Tarif mit fixer Grundgebühr und fixen Kosten pro Kilowattstunde.
Der Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit vom Radius.
Die Anzahl an Einwohnern einer Gemeinde in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Einwohneranzahl jährlich um 1,5 % zunimmt.

#1076 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Beweise, dass für jede reelle Zahl $a$ und jede lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ die folgende Eigenschaft erfüllt ist: $$\frac{f(a)+f(-a)}{2}=d$$
Bild des vollständigen und nachvollziehbaren Beweises:

#1098 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Begründe ob es sich bei den Varianten $I(R)=\frac{U}{R}$ und $I(U)=\frac{U}{R}$ des Ohmschen Gesetzes jeweils um eine lineare Funktion handelt.

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2. Wachstums- und Abnahmeprozesse

Jemand wartet darauf, dass der Download seines neuen Computerspiels abgeschlossen ist. Vor 50 Minuten fehlten noch 8.8 GB. Aktuell fehlen noch 5.7 GB. Es wird angenommen, dass die Downloadgeschwindigkeit konstant ist, also ein linearer Zusammenhang zwischen fehlender Datenmenge und Zeit besteht.
a) Wie viel wird in 30 Minuten noch fehlen? [2] GB
b) In wie vielen Minuten wird der Download abgeschlossen sein? [1] min

#265 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Eine 14.9 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.5 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

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Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:23 Uhr betrug der Wasserstand 48 cm. Um 16:57 Uhr betrug er 1.13 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.54 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.
Uhrzeit: [0]

Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2034 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?
Einwohnerzahl im Jahr 2034: [1] Mio. Einwohner

Eine aktuell 13 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 10 mm.
a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 5.7 Stunden noch sein?
Dicke: [2] cm
b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?
Zeit: [2] h

Eine Kerze brennt pro Stunde 2.5 cm nieder. Zu Beginn ist sie 31 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?
Dauer: [2] h

Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 16 Jahren eine Höhe von 0.72 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 0.96 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?
Prognose: [2] m

#704 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Einwohnerzahl der Türkei wuchs in den letzten Jahrzehnten annähernd linear und kann durch die Funktion $E(t)=0{,}96t+64{,}23$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die Zeit in Jahren beginnend am 1. Jänner 2000 und $E(t)$ für die zugehörige Einwohnerzahl (in Millionen). Die Bevölkerung Deutschlands liegt seit 1995 fast konstant bei 82 Millionen Einwohnern. In welchem Jahr werden laut diesem Modell beide Länder gleich viele Einwohner haben?
Ergebnis (Jahreszahl): [0]

3. Tarifvergleiche

Es stehen die folgenden beiden Stromtarife zur Auswahl:
  ▪  Tarif A: Grundgebühr: 5.7 €, Kosten pro kWh: 7.9 c
  ▪  Tarif B: Grundgebühr: 7.4 €, Kosten pro kWh: 4.7 c
a) Ermittle jenen Energiebedarf („Stromverbrauch“) in Kilowattstunden (kWh), bei dem beide Tarife gleichwertig sind sowie den zughörigen Preis.
Energiebedarf: [1] kWh
Preis: [2]
b) Wie groß ist der Preisunterschied bei 125 kWh?
Preisunterschied: [2]

Herr R. möchte Holzpellets kaufen. Er findet im Internet zwei passende Angebote:
  ▪  Bei Angebot A betragen die Lieferkosten 42 € und der Preis pro Kilogramm 74 Cent.
  ▪  Bei Angebot B betragen die Lieferkosten 61 € und der Preis pro Kilogramm 50 Cent.
Berechne, ab welcher Menge Angebot B besser wäre!
Menge: [1] kg

4. Stückweise definierte Funktionen

Zeichne den Funktionsgraphen der folgenden stückweise definierten Funktion möglichst genau auf ein Blatt Papier. $$f(x)= \begin{cases} \frac{5}{2}x+1,& \textrm{falls }x\in [-7,-1)\\ 1.5x-5,& \textrm{falls }x\in [-1,1)\\ -\frac{1}{4}x+4,& \textrm{falls }x\in [1,6]\\ \end{cases} $$ Funktionsgraph:

5. Vermischte Aufgaben

Bestimme die Funktionsgleichung $f(x)=k\cdot x+d$ einer linearen Funktion, deren Graph senkrecht auf den Graphen der Funktion $g(x)=-1.2 \cdot x+2.6$ steht und durch den Punkt $P(\,4 \mid 5\,)$ verläuft.

$k=\,$ [2]
$d=\,$ [2]

Die Gesamtkosten für die Herstellung eines bestimmten Produkts lassen sich durch eine lineare Funktion beschreiben. Für 659 Stück betragen die Kosten 3319 € und für 2314 Stück sind es 4282 €.
a) Bestimme die Parameter $k$ und $d$ der Kostenfunktion $K(x)=k\cdot x+ d$.
$k =$ [2] €/Stück
$d =$ [2]
b) Der Verkaufspreis beträgt 5.4 € pro Stück. Berechne den Break-Even-Point. Runde auf ganze Stück auf!
Ergebnis: [0] Stück

#272 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die bei uns gebräuchliche Temperatureinheit Grad Celsius (°C) kann anhand der linearen Funktion $y(x) = \frac{9}{5}\,x + 32$ in die in den USA verbreitete Temperatureinheit Grad Fahrenheit (°F) umgerechnet werden, wobei $x$ die Temperatur in Grad Celsius angibt und $y$ die Temperatur in Grad Fahrenheit.
a) Berechne, bei wie viel Grad Celsius die Fahrenheit-Skala ihren Nullpunkt hat.
Nullpunkt der Fahrenheit-Skala: [0] °C
b) Gib die Umkehrfunktion an, also jene Funktion, die zur Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius verwendet werden kann.
Umkehrfunktion (inkl. Lösungsweg):

Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.59 - 0.08t$ und $h_B(t) = 0.13t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.
a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
Höhe: [2] m
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.
Dauer: [2] min
c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?
Höhe: [2] m

#620 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = 3 + 5x$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Der Punkt $(\,2 \mid 11\,)$ liegt unterhalb des Funktionsgraphen von $f$.
Der Graph der Funktion $g(x) = 0{,}2x + 1$ steht normal auf den Graphen von $f$.
Der Funktionsgraph von $f$ schneidet die vertikale Achse bei 5.
Die Nullstelle von $f$ ist bei $x=2$.
Der Graph von $h(x) = 5x - 1$ ist parallel zu jenem von $f$.

Die Einwohnerzahl einer Stadt hat sich folgendermaßen entwickelt:
  ▪  2006: 32958 Einwohner
  ▪  2011: 35061 Einwohner
  ▪  2020: 42213 Einwohner
a) Überprüfe und begründe nachvollziehbar, ob es sich um ein lineares Bevölkerungswachstum handelt.

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b) Wie viele Einwohner müssten 2020 in dieser Stadt leben, damit es sich um ein lineares Wachstum handeln würde?
Einwohnerzahl: [0]

Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen auf kariertes Papier und beschrifte die Graphen. Als Skalierung soll pro Kästchen 0,5 verwendet werden.
a) $\,\,f(x)=3-0.5x$
Funktionsgraph:
b) $\,\,g(x)=\frac{3}{4}\,x-1$
Funktionsgraph:
c) $\,\,h(x)=0.4x$
Funktionsgraph:

Es sind nachfolgend drei Wertepaare vorgegeben:
  ▪  $x=1.1,\,\,\,y=2.9$
  ▪  $x=4,\,\,\,y=4.2$
  ▪  $x=12.4,\,\,\,y=6.4$
a) Überprüfe nachweislich, ob es sich bei diesen Wertepaaren um einen linearen Zusammenhang handelt. Beschreibe das Ergebnis der Überprüfung durch einen vollständigen Satz.
Lösung:
b) Welchen $y$-Wert müsste der dritte Punkt haben, damit es sich um einen linearen Zusammenhang handeln würde?
Ergebnis: $y=$ [0]

#1216 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend sind drei Funktionsgraphen von linearen Funktionen abgebildet. Ermittle jeweils die zugehörige Funktionsgleichung.

Blauer Funktionsgraph: $f(x)=$ [0]
Roter Funktionsgraph: $g(x)=$ [0]
Grüner Funktionsgraph: $h(x)=$ [0]