Aufgaben zur Geometrie des Raumes
Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zur Geometrie des Raumes. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Würfel und Quader
#475 |
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Beim sogenannten „Delischen Problem“, welches seinen Ursprung in einer griechischen Legende hat, geht es darum, zu einem gegebenen Würfel mit bekannter Seitenlänge jenen Würfel zu finden, der das doppelte Volumen besitzt.
a) Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge 65 cm. Welche Seitenlänge muss ein Würfel besitzen, der das doppelte Volumen des gegebenen Würfels hat?
b) Um welchen Faktor ändert sich die Seitenlänge des Würfels allgemein? Es ist hier der exakte Wert gesucht, keine gerundete Dezimalzahl.
Ein Stück Blattgold ist 65.6 cm lang, 3.5 dm breit und 109 nm dick.
a) Berechne das Volumen!
b) Bestimme die Masse, wenn die Dichte von Gold 19,32 g/cm³ beträgt.
c) Wie hoch ist der Materialpreis dieses Blattgoldes, wenn der Preis pro Gramm 34.58 € beträgt?
#1358 |
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Die Seitenwände eines Raumes mit rechteckigem Grundriss sollen neu gestrichen werden. Die Grundfläche ist 3.6 m × 2.5 m groß und der Raum ist 230 cm hoch. Laut Hersteller reicht ein Liter Farbe für 4.5 m². Zur Sicherheit werden 10 % mehr gekauft. Wie viele Liter Farbe müssen gekauft werden?
#1365 |
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Eine quaderförmige Schachtel ist 0.91 m lang, 6.2 dm breit und 46 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale in Zentimetern.
#1366 |
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Ein quaderförmiger Schuhkarton ist 33 cm × 20 cm × 13 cm groß. Wie viel Karton ist für dessen Herstellung nötig, wenn zusätzlich zur Oberfläche des Quaders noch 15 % für Klebeflächen einberechnet werden? Gib das Ergebnis in der Einheit cm² an!
#1372 |
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Es wird die Seitenlänge eines Würfels um 21 % vergrößert.
a) Um Wie viel Prozent wird dadurch die Oberfläche größer?
b) Um Wie viel Prozent wird dadurch das Volumen größer?
2. Prisma
Ein Schwimmbecken wird durch folgende (nicht maßstabsgetreue) Skizze dargestellt:
Die Abmessungen sind $L=7.3$ m, $B=4$ m, $H_1=125$ cm und $H_2=187$ cm. Die Länge $L_1$ entspricht 32 % von $L$ und die Länge $L_2$ entspricht 37 % von $L$.
a) Berechne das Gesamtvolumen des Schwimmbeckens.
b) Berechne die benötigte Wassermenge, wenn sich der Wasserspiegel 7 cm unterhalb des Beckenrandes befinden soll.
c) Berechne die Fülldauer, wenn 45.9 L/min in das leere Becken fließen.
#331 |
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Nachfolgend ist die Skizze eines Bauteils dargestellt, welches aus 3.5 mm dickem Stahlblech hergestellt werden soll (alle Angaben in Millimeter). Achte auf die Einheiten!
a) Berechne den Flächeninhalt dieses Bauteils.
b) Berechne die Masse des Bauteils. Die Dichte von Stahl beträgt 7,85 g/cm³.
#1371 |
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Als Hochwasserschutz soll entlang eines Fluss ein 1.17 km langer Damm aus Erde errichtet werden. Sein Querschnitt soll trapezförmig sein, wobei die Breite am Boden 5.7 m und an der Oberseite 3.9 m beträgt. Die Höhe des Damms beträgt 200 cm.
a) Berechne, wie viele Kubikmeter Erde benötigt werden.
b) Wie vielen LKW-Ladungen entspricht dies, wenn jeder LKW 11 m³ Erde transportieren kann?
3. Pyramide
#1367 |
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Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide hat die Seitenlänge 2.8 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 5 cm. Berechne die Mantelfläche der Pyramide in der Einheit cm².
4. Drehzylinder
Eine zylinderförmige Dose soll ein Volumen von 950 mL besitzen. Die Höhe ist mit 17.8 cm vorgegeben. Berechne den Durchmesser und die Oberfläche und achte dabei auf die Einheiten!
#1364 |
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Eine Torte soll eine 5 cm dicke Schicht aus Joghurtcreme erhalten. Wie viele Liter Creme werden dafür benötigt, wenn der Durchmesser der Torte 29 cm beträgt?
5. Kugel
Für ein physikalisches Experiment sollen drei massive Stahlkugeln hergestellt werden. Die mittlere Kugel soll die doppelte Masse (und somit auch das doppelte Volumen) der kleinen Kugel haben. Die große Kugel soll die dreifache Masse (und somit auch das dreifache Volumen) der kleinen Kugel haben. Der Radius der kleinen Kugel ist mit 1.7 cm vorgegeben.
a) Welchen Radius haben die beiden anderen Kugeln?
b) Welche Masse hat die kleine Kugel, wenn der verwendete Stahl die Dichte 7,86 g/cm³ hat?
Eine Kugel hat den Radius 16.6 cm. Welchen Radius muss eine andere Kugel haben, deren Volumen um 26 % kleiner ist?
Für diese Aufgabe soll angenommen werden, dass die Erde eine perfekte Kugel ist. Um den Äquator wird ein Band gespannt, welches die Erdoberfläche überall berührt. Dieses Band wird nun um 22 Meter verlängert und an jeder Stelle des Äquators gleichmäßig angehoben. Wie weit ist das Band dann über der Erdoberfläche? Am Äquator beträgt der Erdradius 6 378 137 m.
Eine Christbaumkugel hat einen Außendurchmesser von 5.6 cm. Die Masse beträgt 4.24 g und die Dichte von Glas ist 2,5 kg/dm³. Berechne die Glasdicke dieser Christbaumkugel.
Für ein physikalisches Experiment sollen zwei massive Aluminiumkugeln (Dichte: ca. 2,7 g/cm³) hergestellt werden. Beide Kugeln zusammen sollen 3.5 kg schwer sein. Eine Kugel soll doppelt so schwer sein, wie die andere Kugel. Bestimme den Radius, den die beiden Kugeln haben müssen!
In einer Packung tiefgekühlter Knödel befinden sich vier Stück mit einem Durchmesser von 72 mm. Der Hersteller möchte stattdessen in Zukunft sechs Stück pro Packung verkaufen, wobei die Gesamtmasse (und somit auch das Gesamtvolumen) gleich bleiben soll. Welchen Durchmesser müssen die neuen Knödel haben?
#1263 |
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Eine kugelförmige Zwiebel hat einen Durchmesser von 7.4 cm. Ihre äußerste Schicht ist 3.9 mm dick. Wie viel Prozent des Gesamtvolumens hat die äußerste Schicht?
#1368 |
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Der Durchmesser einer Kugel beträgt 23 mm. Berechne die Oberfläche und gib das Ergebnis in der Einheit cm² an.
#1369 |
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Es soll eine Kugel aus Stahl hergestellt werden, deren Masse 50 g beträgt.
a) Suche im Internet einen Wert für die Dichte von Stahl. Gib den Wert in der Einheit g/cm³ an und nenne deine Quelle.
b) Berechne den Durchmesser der Kugel und gib das Ergebnis in Millimetern an.
#1370 |
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Eine Bleikugel mit einem Durchmesser von 2.9 cm wird eingeschmolzen und zu einem Würfel gegossen. Welche Seitenlänge hat der entstehende Würfel?
6. Vermischte Aufgaben
Gegeben ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 6.9 cm. Welchen Radius muss eine Kugel haben, deren Volumen genau doppelt so groß ist, wie das Volumen des Würfels?
#739 |
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Für die Webseite eines Baumarktes soll ein Online-Tool erstellt werden, welches die benötigte Farbmenge für das Streichen der vier Seitenwände eines rechteckigen Raumes berechnet. Dabei werden folgende Variablen verwendet:
$L$ ... Länge des Raumes (in Metern)
$B$ ... Breite des Raumes (in Metern)
$H$ ... Höhe des Raumes (in Metern)
$A$ ... Fläche, die mit einem Liter Farbe gestrichen werden kann (in m²)
Erstelle einen Term, mit dem die Farbmenge berechnet werden kann. Verwende ausschließlich die Variablen $L, B, H$ und $A$.
#870 |
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Der Radius der Erde entspricht ungefähr 0,9177 % des Sonnenradius. Berechne anhand dieser Information, wie oft das Volumen der Erde in jenes der Sonne passt.
#1081 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{3}$ multipliziert werden.#1105 |
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Beweise die folgende Aussage mathematisch korrekt: „Bei gleichem Volumen hat ein Würfel immer eine größere Oberfläche als eine Kugel.“ Verwende als Ansatz die Tatsache, dass beide Volumen gleich groß sind. Forme diese Gleichung passend um und setze in eine der beiden Oberflächenformeln ein.
#1167 |
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Gegeben ist ein Würfel mit beliebiger Seitenlänge. Ermittle, wie viel Prozent des Würfelvolumens die Volumen der Inkugel, der Kantenkugel und der Umkugel besitzen. Gib deinen Rechenweg an.