Bei einem bestimmten Glücksspiel liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit für eine einzelne Teilnahme konstant bei 5.2 %. Clemens nimmt 9-mal an diesem Glücksspiel teil. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau einmal gewinnt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als einmal gewinnt? c) Wie oft müsste er mindestens teilnehmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal zu gewinnen?

Bei einer Universitätsprüfung werden 39 Fragen gestellt, die nur mit Wahr oder Falsch zu beantworten sind. Um die Prüfung zu bestehen, müssen mindestens 70 % der Fragen richtig beantwortet werden. a) Wie viele Fragen müssen mindestens richtig beantwortet werden, um die Prüfung zu bestehen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Prüfung zu bestehen, wenn jede Frage zufällig beantwortet wird? c) Viktor ist sich sicher, 4 Fragen richtig beantwortet zu haben. Alle anderen Fragen hat er zufällig beantwortet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Prüfung besteht?

Bei einem Fließbandprozess sind normalerweise 98.19 % der produzierten Waren fehlerfrei. Zur Qualitätskontrolle werden regelmäßig 50 Produkte entnommen und überprüft. Weisen mehr als drei Produkte einen Fehler auf, so wird der Betrieb vorübergehend gestoppt, da dies auf einen systematischen Produktionsfehler hindeutet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei Produkte einen Fehler aufweisen, obwohl kein systematischer Produktionsfehler vorliegt?

Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung. a) $n=41$, $p=0.135$, $P(4 \leq X\leq 15 )$ b) $n=84$, $p=0.248$, $P(X\leq 27 )$ c) $n=112$, $p=0.385$, $P(X\geq 48 )$

Bei der Zwetschkenernte von Frau Herzog stellt sich heraus, dass 13.7 % der Früchte von Würmern befallen sind. Es werden jeweils Packungen mit 55 Zwetschken erzeugt. Ergänze die folgenden Lücken. a) Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. __________ % sind mindestens 5 Zwetschken einer Packung befallen. b) Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. __________ % sind mindestens 88 % der Zwetschken einer Packung in Ordnung. c) Der Erwartungswert der befallenen Zwetschken pro Packung beträgt __________ .

Gib an, ob die nachfolgend beschriebenen Zufallsvariablen einer Binomialverteilung entsprechen! Binomialverteilung keine Binomialverteilung Anzahl der „Zahl“-Würfe, wenn eine Münze 30-mal geworfen wird. Binomialverteilung keine Binomialverteilung Anzahl an Marillenknödeln, die man erhält, wenn man aus einem Topf mit acht Marillenknödeln und acht Zwetschkenknödeln vier zufällige Knödel auswählt. Binomialverteilung keine Binomialverteilung Anzahl an richtigen Antworten, wenn man bei 20 Single-Choice-Fragen mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten immer eine zufällige Antwort wählt. Binomialverteilung keine Binomialverteilung Anzahl an roten Kugeln, die man erhält, wenn man aus einem Topf mit 8 roten und 10 weißen Kugeln 4 zufällige Kugeln zieht. Binomialverteilung keine Binomialverteilung Anzahl an notwendigen Würfen eines Würfels, bis das nächste Mal eine 6 kommt. Binomialverteilung keine Binomialverteilung Anzahl an Linkshändern in einer 23-köpfigen Schulklasse.

In einer Mini-Packung Gummibärchen sind üblicherweise zehn zufällige Stück enthalten. Es gibt sechs verschiedene Geschmacksrichtungen, deren Auftrittswahrscheinlichkeiten gleich groß sind. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung kein einziges grünes Gummibärchen ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung nur gelbe Gummibärchen sind? Gib das Ergebnis als Gleitkommazahl mit mindestens drei signifikanten Stellen an. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung mindestens drei orange Gummibärchen sind? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung höchstens drei weiße Gummibärchen sind?

Laut einer Schätzung sind 15 % aller Menschen sind Linkshänder. In einer Schulklasse sind 21 Schüler. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Linkshänder gibt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen Linkshänder gibt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau einen Linkshänder gibt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens drei Linkshänder gibt?

Bei der Herstellung einer bestimmten Ware sind erfahrungsgemäß 8.1 % aller Produkte defekt. Es sollen insgesamt 120 einwandfreie Produkte geliefert werden. Welche Produktionsmenge ist erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 120 einwandfreie Produkte herzustellen? Für diese Aufgabe wird die Verwendung eines geeigneten Computerprogramms empfohlen.

Laut einer Schätzung sind 10 % der Bevölkerung Linkshänder. Wie viele Schüler müssten sich mindestens in einer Schulklasse befinden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85 % mindestens zwei Linkshänder unter ihnen sind?

In einem Topf befinden sich acht Marillenknödel und vier Zwetschkenknödel, welche optisch nicht unterschieden werden können. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch zufälliges Ziehen von vier Knödeln genau vier Marillenknödel zu bekommen? b) Erkläre, warum die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht mittels Binomialverteilung berechnet werden kann!

Ungefähr 7.6 % aller Hobbyläufer verwenden Dopingmittel. Nach einem Laufwettbewerb werden 16 zufällige Teilnehmer untersucht. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keiner Dopingmittel verwendet hat. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer Dopingmittel verwendet hat. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer Dopingmittel verwendet hat.

Bei einem komplizierten Herstellungsverfahren sind durchschnittlich 75.8 % aller Produkte fehlerfrei. Pro Serie werden 15 Stück hergestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 % einer Serie fehlerfrei sind?

In Österreich sind 0,012 % aller Menschen über 100 Jahre alt. In einer Stadt leben 81.000 Menschen. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Einwohner dieser Stadt, die älter als 100 Jahre sind. a) Für eine derart große Stichprobe ist der Binomialkoeffizient (auch für Computerprogramme) schwierig zu berechnen. Daher soll bei dieser Aufgabe die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Berechne die Parameter $\mu$ und $\sigma$ dieser Normalverteilung. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Menschen in dieser Stadt über 100 Jahre alt ist?

In Wien haben 9 % aller Haushalte einen Hund und 10 % aller Haushalte eine Katze. In einer Wiener Schulklasse gibt es 22 Schüler (welche alle in Wien wohnen). Mit der Formulierung „ein Hund“ bzw. „eine Katze“ ist in dieser Aufgabe nicht die Zahl 1 sondern der unbestimmte Artikel gemeint. Diese Formulierung bedeutet also, dass mindestens ein Exemplar dieses Tiers vorhanden ist. a) Berechne den Erwartungswert der Anzahl der Schüler, in deren Haushalt ein Hund lebt. b) Begründe, warum die folgende Schlussfolgerung auf Basis der obigen Daten nicht unbedingt richtig ist: In 19 % aller Haushalte gibt es einen Hund oder eine Katze. c) Formuliere zu folgendem Ereignis das passende Gegenereignis: Der Schüler besitzt einen Hund oder eine Katze. d) Welche Wahrscheinlichkeit wird durch den folgenden Term berechnet? $$\binom{22}{4}\cdot 0{,}1^{4} \cdot 0{,}9^{22- 4}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler Mathematik als Lieblingsfach nennt, beträgt 7 %. Aus wie vielen Schülern muss eine Gruppe mindestens bestehen, damit mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens eine Person Mathematik als Lieblingsfach nennt?