Lösungen

zum Arbeitsblatt Quadratische Gleichungen
Aufgabe 1
a) $3\cdot(x - 4)^2 + 5$
b) $2\cdot(x-3)^2-5$
c) $-(x+3)^2+1$
d) $(x-13)^2-29$
e) $-15\cdot(x+12)^2-10$
f) $\frac{1}{4}\cdot (x+1)^2-3$

Aufgabe 2
a) Im Zähler ist das Minus am Beginn falsch.
b) In der Wurzel muss die Zahl $-7$ in Klammer stehen, da sonst das Minus nicht quadriert wird.
c) Unter der Wurzel muss $(-10)$ statt $10$ stehen, da die Zahl $10$ in der gegebenen Gleichung vor dem Einsetzen in die Lösungsformel nach links gebracht werden muss (und dadurch negativ wird). Die Lösungsformel ist nur für Gleichungen der Form $ax^2+bx+c=0$ anwendbar.
Aufgabe 3
a) keine
b) zwei
c) keine
d) zwei
Aufgabe 4
a) $-4$, $1$
b) $4$, $7$
c) keine reellen Lösungen
d) $6$ (doppelte Lösung)
e) $-2$, $2$
f) $4$, $12$
g) $0$, $13$
h) keine reellen Lösungen
i) $-1{,}7$, $0{,}5$
j) $-3$, $\frac{1}{2}$

Aufgabe 5
a) $-5$, $5$
b) $0$, $\frac{3}{5}$
c) keine reellen Lösungen
d) $-9$, $1$
e) keine reellen Lösungen
f) $-1, -\frac{1}{8}$
g) $-\frac{2}{3}$, $1$
h) $-1, 1$
i) $-4$, $4$
j) $\frac{15}{4}=3{,}75$, $5$
k) $\frac{7}{8}=0{,}875$, $2$
l) $-2$, $-1$
m) $0$, $4$
n) $\frac{11}{10}=1{,}1$, $4$
o) $-10$, $1$
p) $-3$, $10$
Aufgabe 6
a) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{-1 \}$, Lösungen: $-0{,}732$ und $2{,}732$
b) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{0 \}$, Lösungen: $0{,}382$ und $2{,}618$
c) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{-2 \}$, keine reellen Lösungen
d) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{2 \}$, keine reellen Lösungen
e) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{3 \}$, Lösung: $-3$
f) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{-2;1 \}$, Lösungen: $-1$ und $4$
g) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{-1 ; 1\}$, Lösungen: $-1{,}135$ und $1{,}468$
h) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{0 \}$, Lösungen: $-1{,}414$ und $1{,}414$
i) Definitionsmenge: $\mathbb{R}\setminus\{-1; 1 \}$, Lösung: $-0{,}478$
Aufgabe 7
a) $-8$, $-3$, 3, 8
b) $-2{,}486$, $2{,}486$
c) $-3{,}162$, $-2$, 2, 3,162
d) $-1$, 0, 1
e) $-4$, $-1{,}414$, 1,414, 4
f) $-2$, $-0{,}645$, 0,645, 2
Aufgabe 8
$p$ $q$ $x_1$ $x_2$
50 589 $-19$ $-31$
$-11$ $-276$ $-12$ 23
1,4 $-0{,}51$ 0,3 $-1{,}7$
$-8$ $-209$ $19$ $-11$
Aufgabe 9
a) $x^2-8x+15=0$
b) $x^2-5x-14=0$
c) $x^2 +\frac{7}{6}x -\frac{1}{2}=0$
d) $x^2+0{,}7x-8=0$
e) $x^2 -\frac{5}{3}x=0$
f) $x^2-4x+4=0$
Aufgabe 10
a) $t=\pm \sqrt{ \frac{2s}{a} }$
b) $t_{1,2}=\frac{-v_0\pm \sqrt{v_0^2 -2as_0+2as}}{a}$
c) $ r_{1,2}= \frac{-2\pi h\pm \sqrt{ 4\pi^2 h^2+8\pi O }}{4\pi} $
d) $r=\frac{-Rh\pi +\sqrt{-3R^2h^2\pi^2+12Vh\pi}}{2\pi h}$
Aufgabe 11
Die Diskriminante $b^2-4ac$ muss negativ sein. Dies erreicht man, indem $b$ im Vergleich zu $a$ und $c$ sehr klein ist. Zum Beispiel ergibt die Diskriminante für $a=4, b=2, c=5$ den Wert $-76$. Die Gleichung $4x^2+2x+5=0$ hat somit keine reelle Lösung.
Aufgabe 12
Die Diskriminante $b^2-4ac$ muss 0 ergeben. Man könnte dazu für $a$ und $b$ beliebige Zahlen einsetzen und nach $c$ umformen. Zum Beispiel erhält man für $a=2$ und $b=10$ die Gleichung $10^2-4\cdot 2\cdot c=0$, welche $c=12{,}5$ ergibt. Die Gleichung $2x^2+10x+12{,}5=0$ hat somit nur eine Lösung.
Aufgabe 13
Ist entweder $a$ oder $c$ negativ (aber nicht beide), so wird bei der Diskriminante $b^2-4ac$ der Term $-4ac$ insgesamt positiv (oder 0, wenn ein Faktor 0 ist). Der Term $b^2$ ist durch das Quadrieren ebenfalls mit Sicherheit positiv. Somit ist der Term unter der Wurzel keinesfalls negativ und daher gibt es mindestens eine reelle Lösung.

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