Lösungen
zum Arbeitsblatt Quadratische Gleichungen mit Grundmenge ℂ
Aufgabe 1
a) $x_{1,2} = 2 \pm 3i$b) $x_{1,2} = -4 \pm i$
c) $x_{1,2} = -2 \pm i$
d) $x_{1,2} = 1{,}5 \pm 0{,}25i$
e) $x_{1,2} = \pm 2i$
f) $x_1=-16,~ x_2=0$
g) $x_{1,2} = -6 \pm 2i$
h) $x_{1,2} = 7 \pm i$
i) $x_{1,2} = 1 \pm 2i$
Aufgabe 2
a)
$x_{1,2} = \pm 5i$b) $x_{1,2} = 3 \pm 2i$
c) $x_{1,2} = -5 \pm 3i$
d) $x_{1,2} = \pm i$
e) $z_{1,2} \approx -0{,}875 \pm 1{,}79844i$
f) $x_1=3{,}75,~ x_2=50$
g) $x_1\approx -3{,}56155,~ x_2\approx 0{,}56155$
h) $z_1=-2,~ z_2=-1$
i) $x_{1,2} \approx 1 \pm 0{,}70711 i$
j) wahre Aussage
k) $x_1\approx -0{,}22474,~ x_2\approx 2{,}22474$
l) keine Lösung
Aufgabe 3
a)
$x_{1,2} = \pm 0{,}75i$b) $z_{1,2} \approx \pm 1{,}41421i$
c) $t_{1,2} \approx -1 \pm 1{,}52753i$
d) $x_{1,2} \approx 0{,}58696 \pm 0{,}30044i$
Aufgabe 4
a)
$x_1 = -3$$x_2 = 3$
$x_{3,4} = \pm 5i$
b) $x_1 = 7+3i$
$x_2 = 7-3i$
$x_3 = -7+3i$
$x_4 = -7-3i$
c) $x_1 = -1$
$x_2 = 1$
$x_{3,4} \approx \pm 2{,}44949i$
d) $x_1 \approx 0{,}37273 + 1{,}12929i$
$x_2 \approx 0{,}37273 - 1{,}12929i$
$x_3 \approx -0{,}37273 + 1{,}12929i$
$x_4 \approx -0{,}37273 - 1{,}12929i$
Aufgabe 5
Aufgabe 6
a)
$x^2-8x+15=0$b) $x^2-5x-14=0$
c) $x^2 +\frac{7}{6}x -\frac{1}{2}=0$
d) $x^2+0{,}7x-8=0$
e) $x^2 -\frac{5}{3}x=0$
f) $x^2-4x+4=0$
g) $x^2-4x+13=0$
h) $x^2-8x+17=0$
i) $x^2+25=0$
Aufgabe 7
Dazu wird der Lösungsterm $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ betrachtet.
Ist die Diskriminante $b^2-4ac \geq 0$, so liefert die Wurzel ein reelles Ergebnis und somit ergeben sich aufgrund des $\pm$-Symbols zwei reelle Lösungen (bzw. eine reelle Lösung, falls die Wurzel 0 ergibt). Ist die Diskriminante $b^2-4ac < 0$, so liefert die Wurzel ein imaginäres Ergebnis und somit ergeben sich aufgrund des $\pm$-Symbols zwei komplexe Lösungen (mit Imaginärteil ungleich 0).
Ist die Diskriminante $b^2-4ac \geq 0$, so liefert die Wurzel ein reelles Ergebnis und somit ergeben sich aufgrund des $\pm$-Symbols zwei reelle Lösungen (bzw. eine reelle Lösung, falls die Wurzel 0 ergibt). Ist die Diskriminante $b^2-4ac < 0$, so liefert die Wurzel ein imaginäres Ergebnis und somit ergeben sich aufgrund des $\pm$-Symbols zwei komplexe Lösungen (mit Imaginärteil ungleich 0).
Aufgabe 8
Dies lässt sich auf zwei Arten erklären:
1. Laut Satz von Vieta gilt $x_1 \cdot x_2 =q$. Falls $x_1, x_2\in \mathbb{C}$ sind, so sind sie komplex konjugiert zueinander, woraus folgt: $(a+bi)\cdot (a-bi)=q\Rightarrow a^2-b^2i^2 =q \Rightarrow a^2+b^2 =q$. Da der Term $a^2+b^2$ mit $b\neq 0$ immer positiv ist, muss auch der Koeffizient $q$ positiv sein.
2. Die p-q-Formel lautet $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q}$. Für komplexe Lösungen mit Imaginärteil ungleich 0 muss der Term unter der Wurzel negativ sein. Da das Quadrat $\left( \frac{p}{2} \right)^2$ immer positiv ist, muss $q$ positiv sein, damit durch die Subtraktion insgesamt ein negativer Term resultieren kann.
1. Laut Satz von Vieta gilt $x_1 \cdot x_2 =q$. Falls $x_1, x_2\in \mathbb{C}$ sind, so sind sie komplex konjugiert zueinander, woraus folgt: $(a+bi)\cdot (a-bi)=q\Rightarrow a^2-b^2i^2 =q \Rightarrow a^2+b^2 =q$. Da der Term $a^2+b^2$ mit $b\neq 0$ immer positiv ist, muss auch der Koeffizient $q$ positiv sein.
2. Die p-q-Formel lautet $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q}$. Für komplexe Lösungen mit Imaginärteil ungleich 0 muss der Term unter der Wurzel negativ sein. Da das Quadrat $\left( \frac{p}{2} \right)^2$ immer positiv ist, muss $q$ positiv sein, damit durch die Subtraktion insgesamt ein negativer Term resultieren kann.
© 2016 – 2026 MATHE.ZONE