Lösungen
zum Arbeitsblatt Kreis und Kreisteile
Aufgabe 1
ca. 28,87 cm
Aufgabe 2
ca. 28,8 %
Aufgabe 3
160°
Aufgabe 4
ca. 417,2 mm²
Aufgabe 5
a)
$a^2\cdot \left( 1-\frac{\pi}{4} \right)$b) ca. 21,46 %
Aufgabe 6
$r\approx 5{,}068\,\mathrm{cm}$
$b\approx 4{,}865\,\mathrm{cm}$
$A\approx 12{,}326\,\mathrm{cm}^2$
$b\approx 4{,}865\,\mathrm{cm}$
$A\approx 12{,}326\,\mathrm{cm}^2$
Aufgabe 7
a)
ca. 4,286 sb) ca. 184,73 km/h
Aufgabe 8
a)
10 Bretterb) ca. 40,32 %
Aufgabe 9
ca. 4,502 cm
Aufgabe 10
a)
ca. 34,64 mmb) Man zeichnet einen Kreis mit Radius 34,64 mm, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe übereinstimmt. Als nächstes zeichnet man an einer beliebigen Stelle des Kreisumfangs den Punkt A (den Mittelpunkt der ersten Bohrung). Nun nimmt man 60 mm in den Zirkel und schlägt diese ausgehend vom Punkt A in beide Richtungen am Kreisumfang ab, um die Punkte B und C (die beiden weiteren Bohrungsmittelpunkte) zu erhalten.
Aufgabe 11
a)
11b) $\frac{n\cdot (n+1)}{2} + 1$
Aufgabe 12
Nein, das ist nicht möglich. Unter allen geometrischen Figuren, deren Umfang 5 km beträgt, besitzt der Kreis den größten Flächeninhalt. Selbst wenn der See kreisförmig ist und der Weg direkt am Ufer liegt, beträgt der maximale Flächeninhalt jedoch nur ca. 1,989 km$^2$.
Aufgabe 13
$r=\frac{a}{3}$
Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a-r$, $\frac{a}{2}$ und der Hypotenuse $\frac{a}{2} + r$.
Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a-r$, $\frac{a}{2}$ und der Hypotenuse $\frac{a}{2} + r$.
Aufgabe 14
Der Radius des Viertelkreises wird mit $r$ bezeichnet. Der Flächeninhalt des Viertelkreises beträgt $\frac{r^2\cdot \pi}{4}$.
Der Radius der beiden Halbkreise beträgt $\frac{r}{2}$. Der Flächeninhalt der beiden Halbkreise beträgt zusammen $2\cdot \frac{\left( \frac{r}{2} \right)^2 \cdot \pi}{2}=\frac{r^2\cdot \pi}{4}$.
Der Flächeninhalt des Viertelkreises ist also identisch mit jenem der beiden Halbkreise zusammen.
Bezeichnet man die weißen Flächen mit $W$ (beide zusammen), die rote Fläche mit $R$ und die blaue Fläche mit $B$, so erhält man für den Viertelkreis $W+R+B$. Für die beiden Halbkreise erhält man $W+2R$ (weil sich die Halbkreise teilweise überlappen, muss die rote Fläche doppelt genommen werden).
Da Viertelkreis und Halbkreise denselben Flächeninhalt haben, ergibt sich $W+R+B=W+2R$ und daraus folgt $B=R$.
Der Radius der beiden Halbkreise beträgt $\frac{r}{2}$. Der Flächeninhalt der beiden Halbkreise beträgt zusammen $2\cdot \frac{\left( \frac{r}{2} \right)^2 \cdot \pi}{2}=\frac{r^2\cdot \pi}{4}$.
Der Flächeninhalt des Viertelkreises ist also identisch mit jenem der beiden Halbkreise zusammen.
Bezeichnet man die weißen Flächen mit $W$ (beide zusammen), die rote Fläche mit $R$ und die blaue Fläche mit $B$, so erhält man für den Viertelkreis $W+R+B$. Für die beiden Halbkreise erhält man $W+2R$ (weil sich die Halbkreise teilweise überlappen, muss die rote Fläche doppelt genommen werden).
Da Viertelkreis und Halbkreise denselben Flächeninhalt haben, ergibt sich $W+R+B=W+2R$ und daraus folgt $B=R$.
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