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Winkelmaße
Die Winkeleinheit Grad wird in der Mathematik meist nur im Zusammenhang mit geometrischen Aufgaben verwendet. Für die allgemeine Verwendung von trigonometrischen Funktionen (z. B. zur Beschreibung von Schwingungen oder zur Darstellung komplexer Zahlen) wird in der Mathematik hauptsächlich das Bogenmaß und somit die Einheit Radiant (rad) verwendet.
Generell gilt: Wird keine Einheit angegeben, so handelt es sich um einen Winkel im Bogenmaß. Möchte man stattdessen die Einheit Grad verwenden, so muss dies durch das Gradsymbol (°) explizit gekennzeichnet werden.
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Die Einheit Radiant kann weggelassen werden. Das Gradsymbol muss immer angegeben werden.
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Umrechnung
Im Gradmaß hat ein Kreis bekanntlich 360°. Im Bogenmaß entspricht der Kreis einem Wert von $2\pi$. Man erhält daher folgenden Zusammenhang:
$$360° = 2\pi\, \mathrm{rad}$$
Die Umrechnung zwischen Grad und Radiant lautet daher folgendermaßen:
Herleitung
Im Gradmaß entspricht ein voller Kreis 360° und im Bogenmaß hat er einen Wert von $2\pi$. Durch Gleichsetzen erhält man $360^\circ = 2\pi \,\textrm{rad}$. Dividiert man nun entweder durch 360 oder durch $2\pi$, so erhält man die obigen Umrechnungen:
$$1^\circ = \frac{2\pi}{360} \,\textrm{rad} = \frac{\pi}{180} \,\textrm{rad}$$
$$1\,\textrm{rad}= \frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi}$$
Die folgenden Umrechnungen sollte man auswendig wissen:
- $2\pi = 360^\circ$
- $\pi = 180^\circ$
- $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$
- $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$
- $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$
- $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$
Aufgabe 1
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