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Winkelfunktionen am Einheitskreis
Es ist ein beliebiger Winkel $\varphi \in \mathbb{R}$ gegeben, dessen Strahl den Einheitskreis im Punkt $P(x_P\,|\,y_P)$ schneidet. Den Punkt $S$ erhält man, indem man den Strahl des Winkels mit der senkrechten Gerade $x=1$ schneidet. Die drei Winkelfunktionen werden anhand dieser beiden Punkte folgendermaßen definiert:
  • $\sin (\varphi)=y_P$
    Der Sinus entspricht der $y$-Koordinate von Punkt $P$.
  • $\cos (\varphi)=x_P$
    Der Kosinus entspricht der $x$-Koordinate von Punkt $P$.
  • $\tan (\varphi)=y_S$
    Der Tangens entspricht der $y$-Koordinate von Punkt $S$.

Mit dieser Datei können die Werte der drei Winkelfunktionen für beliebige Winkel gezeichnet werden:
GeoGebra-Simulation: Winkelfunktionen im Einheitskreis
data/dateien/winkelfunktionen.ggb, 17,8 KB

Nachfolgend wird überprüft, ob diese neue und allgemeinere Definition der Winkelfunktionen überhaupt mit jener im rechtwinkligen Dreieck übereinstimmt.
Überprüfung
Um die oben beschriebenen Zusammenhänge zu überprüfen, betrachtet man zunächst das kleine der beiden rechtwinkligen Dreiecke in der Skizze. Da die Hypotenuse dieses Dreiecks 1 ist, gelten $\sin(\varphi)=\frac{y_P}{1}=y_P$ und $\cos(\varphi)=\frac{x_P}{1}=x_P$. Für den Tangens verwendet man das große rechtwinklige Dreieck. Hier hat die Ankathete von $\varphi$ den Wert 1. Daher gilt $\tan(\varphi)=\frac{y_S}{1}=y_S$. Es wurde somit gezeigt, dass die Definitionen der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck mit den neuen Definitionen übereinstimmen.
Man kann bei dieser Gelegenheit auch gleich einen wichtigen Zusammenhang zwischen den drei Winkelfunktionen herleiten: $$\tan(\varphi)=\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$$
Herleitung
Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke ähnlich sind (denn sie stimmen in allen Winkeln überein), stehen die Katheten im selben Verhältnis zueinander. Somit gilt $\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=\frac{\tan(\varphi)}{1}=\tan(\varphi)$.
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