Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden benötigt, wenn beispielsweise der Wert des Sinus bekannt ist und der zugehörige Winkel bestimmt werden soll. Man bezeichnet die Umkehrfunktionen auch als Arkusfunktionen, was sich vom lateinischen Wort arcus ableitet und Bogen bedeutet. Dies bezieht sich auf die Bogenlänge am Einheitskreis, die ja bei Verwendung des Bogenmaßes mit dem Winkel übereinstimmt. Abgekürzt werden die Arkusfunktionen, indem man vor die entsprechende Winkelfunktion $\mathrm{arc}$ schreibt, also beispielsweise $\mathrm{arcsin}$ für Arkussinus. Bei Taschenrechnern werden auch häufig die Abkürzungen $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ verwendet. Ebenfalls üblich (speziell in Computerprogrammen und Programmiersprachen) sind die Abkürzungen $\mathrm{asin}$, $\mathrm{acos}$ und $\mathrm{atan}$. Da die Winkelfunktionen periodisch sind, gibt es grundsätzlich keine eindeutige Umkehrung und somit keine globale Umkehrfunktion. Beispielsweise hat $\sin(\tfrac{\pi}{6})$ den Wert 0,5. Es gibt aber unendlich viele weitere Winkel, die ebenfalls den Sinuswert 0,5 besitzen (z. B. $\tfrac{5\pi}{6}$ und $\tfrac{13\pi}{6}$). Somit ist ohne weitere Informationen nicht klar, welcher Winkel nun zum Sinuswert 0,5 gehört. Taschenrechner und Computerprogramme liefern stets Werte aus einem bestimmten Bereich:

• $\arcsin(x)\in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$
• $\arccos(x)\in \left[0,\pi\right]$
• $\arctan(x)\in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$

Alle weiteren Lösungen muss man selbstständig anhand der Eigenschaften der Winkelfunktionen bzw. durch diverse Zusatzinformationen ermitteln.

Beispiel 1

Es sollen alle Winkel bestimmt werden, für die $\sin(x)=0{,}75$ gilt. Der Taschenrechner liefert hierfür das Ergebnis $\arcsin(0{,}75)\approx 0{,}848$. Das ist im folgenden Graphen der erste Punkt rechts der $y$-Achse. Betrachtet man den Graphen, so erkennt man auch die Position der weiteren Lösungen. Der zweite Punkt im positiven Bereich der $x$-Achse muss sich bei $\pi-0{,}848 \approx 2{,}294$ befinden. Alle anderen Lösungen erhält man durch Verwendung der Periodizität der Sinusfunktion. Die vollständige Menge an Lösungen kann durch die folgenden beiden Ausdrücke beschrieben werden, wobei $n$ eine beliebige ganze Zahl darstellt: $$0{,}848+2\pi n \hspace{10mm} \text{und} \hspace{10mm} 2{,}294+2\pi n$$

Aufgabe 1

Bestimme alle Winkel, für welche folgende Gleichungen erfüllt sind: a) $\tan(x)=0{,}8$ b) $\cos(x)=2{,}5$

Nachfolgend sind die drei Graphen der Arkusfunktionen jeweils im entsprechenden Wertebereich abgebildet:

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