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Trigonometrische Gleichungen
Bei einer trigonometrischen Gleichung kommt die gesuchte Variable im Argument einer Winkelfunktion vor. Gelegentlich werden solche Gleichungen auch als „goniometrische Gleichungen“ bezeichnet. Da die Winkelfunktionen periodisch sind, haben trigonometrische Gleichungen häufig unendlich viele Lösungen. Daher wird meistens ein Lösungsintervall vorgegeben, in welchem die Lösung liegen soll. Alternativ kann man auch versuchen, einen allgemeinen Term zu finden, der alle Lösungen umfasst (wie in den nachfolgenden Beispielen).
Das Lösen von trigonometrischen Gleichungen ist häufig schwierig bzw. teilweise analytisch überhaupt nicht möglich. In vielen Fällen ist es hilfreich, gewisse Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen zu verwenden, um die Gleichung zu vereinfachen.
Beispiel 1
Es sollen alle Lösungen der Gleichung $\sin(3x-2)+\tfrac{3}{2} = 2$ bestimmt werden. Hier kommt die Variable nur ein einziges Mal vor, sodass man sie schrittweise isolieren kann:
$$\sin(3x-2)+\tfrac{3}{2} = 2$$
$$\sin(3x-2) = \tfrac{1}{2}$$
$$3x-2 = \arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)$$
Da $\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)$ die Lösungen $\tfrac{\pi}{6}+2\pi n$ und $\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ besitzt, müssen von hier an zwei Gleichungen gelöst werden, nämlich $3x-2=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n$ und $3x-2=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Durch Umformen nach $x$ erhält man die beiden Lösungsterme:
$$x_1=\tfrac{\pi}{18}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{2\pi n}{3}$$
$$x_2=\tfrac{5\pi}{18}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{2\pi n}{3}$$
Beispiel 2
Es soll die Gleichung $\sin(2x)=6\cos(x)$ gelöst werden. Dazu wird zunächst gemäß der Eigenschaften für trigonometrische Funktionen $\sin(2x)$ ersetzt durch $2\cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$.
$$2\cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = 6\cos(x)$$
$$2\cdot \sin(x) \cdot \cos(x) - 6\cos(x) = 0$$
$$\cos(x)\cdot (\sin(x)-3) = 0$$
Daher sind alle $x$ Lösung der Gleichung, für welche $\cos(x)=0$ oder $\sin(x)=3$ gilt. Da die zweite Gleichung niemals erfüllt ist, weil der Wertebereich des Sinus $[-1,1]$ ist, bleibt nur $\cos(x)=0$ übrig. Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=\tfrac{\pi}{2}+ \pi n$ (also die Nullstellen der Kosinusfunktion).
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