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Trigonometrische Flächenformel
Neben den Höhenformeln und der Heronschen Flächenformel gibt es drei weitere Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Man benötigt dafür zwei Seitenlängen und den eingeschlossenen Winkel:
\begin{equation*}
A=\frac{ab\cdot \sin(\gamma)}{2}=\frac{ac\cdot\sin(\beta)}{2}=\frac{bc\cdot\sin(\alpha)}{2}
\end{equation*}
Herleitung
Auch bei dieser Herleitung müssen drei Fälle unterschieden werden, und es werden dafür erneut dieselben Abbildungen wie bereits beim Sinussatz und beim Kosinussatz herangezogen.
- 1. Fall: Es gilt $\sin(\alpha)=\tfrac{h_c}{b}$. Durch Umformen erhält man $h_c=b\cdot \sin (\alpha)$. Setzt man dies in die bekannte Flächenformel ein, so folgt \begin{equation} A=\frac{c\cdot h_c}{2}=\frac{bc\cdot \sin(\alpha)}{2} \end{equation}
- 2. Fall: Unter Verwendung der bereits beim Sinussatz vorkommenden Eigenschaft $\sin(180^\circ-x)=\sin(x)$ erhält man: \begin{equation} \sin (\alpha')=\frac{h_c}{b}\Rightarrow \sin (180\,^\circ-\alpha)=\frac{h_c}{b}\Rightarrow \sin (\alpha)=\frac{h_c}{b} \end{equation} Durch Einsetzen in die bekannte Flächenformel erhält man wie im 1. Fall die gesuchte trigonometrische Flächenformel.
- 3. Fall: Da $\sin(90^\circ)=1$ gilt, ist die trigonometrische Flächenformel in diesem Fall gleichwertig zur Formel $A=\tfrac{b\cdot c}{2}$, welche im rechtwinkligen Dreieck für die Katheten $b$ und $c$ gültig ist.
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