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Spezialfälle von quadratischen Gleichungen
Reinquadratische Gleichung
Bei einer sogenannten „reinquadratischen Gleichung“ fällt das lineare Glied weg, d. h. es gilt $b=0$. Die Gleichung hat daher die Struktur $ax^2+c=0$. Eine solche Gleichung kann man durch Isolieren von $x^2$ und anschließendes Wurzelziehen lösen. Man muss jedoch beachten, dass dadurch zwei Lösungen entstehen, die positive und die negative Wurzel.
Beispiel 1
Es sollen alle Lösungen der Gleichung $4x^2-9=0$ berechnet werden. Im ersten Schritt wird soweit umgeformt, dass $x^2$ alleine steht:
\begin{equation}
4x^2-9 = 0 ~\Rightarrow~ x^2 = \frac{9}{4}
\end{equation}
Anschließend wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen:
\begin{equation}
x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} =\pm \frac{3}{2}
\end{equation}
Zu beachten ist, dass durch das Wurzelziehen eine positive und eine negative Lösung entstehen. Man erhält somit die Lösungen $\frac{3}{2}$ und $-\frac{3}{2}$.
Homogene quadratische Gleichung
Bei einer homogenen quadratischen Gleichung gibt es kein Absolutglied, d. h. es gilt $c=0$. Man löst eine derartige Gleichung durch Herausheben von $x$ und Anwenden des Nullproduktsatzes. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Beispiel 2
Es soll die Gleichung $x^2+3x=0$ gelöst werden. Auf der linken Seite kann $x$ herausgehoben werden.
\begin{equation}
x^2+3x=0\Rightarrow x\cdot (x+3)=0
\end{equation}
Das Produkt $x\cdot (x+3)$ ergibt 0, wenn entweder $x=0$ oder $x=-3$ gilt. Daher sind die beiden Lösungen dieser Gleichung $0$ und $-3$.
Beispiel 3
Es soll die Gleichung $5x^2-20x=0$ gelöst werden. Auf der linken Seite kann $x$ herausgehoben werden.
\begin{equation}
5x^2-20x=0\Rightarrow 5x\cdot (x-4)=0
\end{equation}
Hier sind die beiden Lösungen $0$ und $4$, da damit entweder der linke oder der rechte Faktor $0$ ist und somit das gesamte Produkt $0$ ergibt.
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