Quadratisches Ergänzen

Möchte man eine quadratische Gleichung lösen, die nicht einem der beiden Spezialfälle entspricht, so kann man die Methode des quadratischen Ergänzens verwenden. Dabei wird die Gleichung zunächst mit Hilfe der binomischen Formeln in die Gestalt eines Binoms gebracht, wodurch man anschließend durch Wurzelziehen die beiden Lösungen bestimmen kann. Ein allgemeines Rezept dafür lautet folgendermaßen:

1. Division der Gleichung durch den Leitkoeffizienten
2. Isolieren des Absolutgliedes auf einer Seite
3. Ergänzen zu einem vollständigen Quadrat eines Binoms (dazu wird auf beiden Seiten das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes addiert)
4. Mittels Umkehrung der binomischen Formeln vereinfachen
5. Wurzel ziehen (es entstehen dadurch zwei Gleichungen)
6. Bestimmen der Lösungen der beiden Gleichungen

Beispiel 1

Es soll die Gleichung $5x^2-25x-70=0$ durch quadratisches Ergänzen gelöst werden.

1. Zuerst wird durch den Leitkoeffizient, also durch 5, dividiert: $x^2-5x-14=0$
2. Als nächstes wird 14 auf die andere Seite gebracht: $x^2-5x=14$
3. Jetzt wird auf beiden Seiten $2{,}5^2$ addiert (also das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes): $x^2-5x+2{,}5^2=14+2{,}5^2$
4. Auf der linken Seite wird die binomische Formel angewendet, rechts werden die beiden Zahlen addiert: $(x-2{,}5)^2=20{,}25$
5. Als nächstes wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen: $x-2{,}5=\pm \sqrt{20{,}25}=\pm 4{,}5$
6. Zuletzt werden beide Gleichungen gelöst: $x_1=7$ und $x_2=-2$

Da diese Methode aufwändig ist, wird im nächsten Kapitel eine Formel hergeleitet, welche für das Lösen quadratischer Gleichungen verwendet werden kann. Ausgangsbasis für diese Formel ist die hier vorgestellte Methode des quadratischen Ergänzens.

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