Kleine Lösungsformel

Grundsätzlich steht mit der allgemeinen Lösungsformel eine Methode zur Verfügung, mit welcher die Lösungen jeder quadratischen Gleichung relativ bequem berechnet werden können. Für normierte quadratische Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$ kann man die Lösungsformel jedoch etwas kompakter anschreiben: \begin{equation*} x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{equation*}

Herleitung

In der allgemeinen Lösungsformel werden zunächst die Ersetzungen $a\mapsto 1$, $b\mapsto p$ und $c\mapsto q$ durchgeführt. Das gewünschte Resultat erhält man durch folgende Umformung: \begin{equation} x=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot 1\cdot q}}{2\cdot 1}=-\frac{p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2-4q}{4}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{equation}

Beispiel 1

Es soll die Gleichung $5x^2-8x+2{,}4=0$ mit Hilfe der kleinen Lösungsformel gelöst werden Dazu muss die Gleichung zuerst normiert werden, indem man durch den Leitkoeffizient $5$ dividiert. Man erhält $x^2-1{,}6x+0{,}48=0$. Einsetzen in die kleine Lösungsformel liefert folgende Ergebnisse: \begin{equation} x=-(-0{,}8)\pm \sqrt{(-0{,}8)^2-0{,}48}= 0{,}4\text{ und }1{,}2 \end{equation}

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