Große Lösungsformel

Die Methode des quadratischen Ergänzens ist in der Praxis relativ zeitaufwändig. Sie kann jedoch verwendet werden, um eine Formel herzuleiten, mit welcher die beiden Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung berechnet werden können. In der nachfolgenden Herleitung wird die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ in ihrer allgemeinen Form durch quadratisches Ergänzen gelöst. Die dadurch entstehende Lösungsformel kann anschließend für jede quadratische Gleichung verwendet werden.

Herleitung

Ausgehend von der Gleichung $ax^2+bx+c=0$ werden folgende Umformungen durchgeführt:

1. Die Gleichung wird durch den Leitkoeffizient $a$ dividiert: $$x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}=0$$
2. Das Absolutglied wird auf die rechte Seite gebracht: $$x^2+\tfrac{b}{a}x=-\tfrac{c}{a}$$
3. Es wird zu einem vollständigen Quadrat eines Binoms ergänzt: $$x^2+\tfrac{b}{a}x+\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2=-\tfrac{c}{a}+\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2$$
4. Die rechte Seite wird vereinfacht (gemeinsamer Nenner): $$x^2+\tfrac{b}{a}x+\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2=-\tfrac{c}{a}+\tfrac{b^2}{4a^2}=\tfrac{-4ac+b^2}{4a^2}=\tfrac{b^2-4ac}{4a^2}$$
5. Die linke Seite wird zu einem Binom zusammengefasst: $$\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2=\tfrac{b^2-4ac}{4a^2}$$
6. Auf beiden Seiten wird die Wurzel gezogen: $$x+\tfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\tfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=\pm \tfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
7. Die Gleichung wird nach $x$ aufgelöst: $$x=-\tfrac{b}{2a}\pm \tfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\tfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Die allgemeine Lösungsformel der quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ lautet somit: \begin{equation*} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{equation*}

Das Symbol $\pm$ (Plusminuszeichen) bedeutet, dass man eine Lösung erhält, indem man $+$ verwendet und die andere Lösung, indem man $-$ verwendet.

Beispiel 1

Es soll die Gleichung $7x^2 - 14x - 168=0$ gelöst werden. Die Koeffizienten für die Lösungsformel lauten $a=7$, $b=-14$ und $c=-168$. Durch Einsetzen in die Lösungsformel erhält man: \begin{equation} x=\frac{-(-14)\pm \sqrt{(-14)^2-4\cdot 7\cdot (-168)}}{2\cdot 7} \end{equation} $$x=\frac{14\pm \sqrt{4900}}{14}$$ $$x=\frac{14\pm 70}{14}$$ $$x_1=6,~~ x_2=-4$$ Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind daher $6$ und $-4$.

Bevor die Lösungsformel verwendet werden kann, muss die Gleichung in die Form $ax^2+bx+c=0$ gebracht werden.

Beispiel 2

Es soll die Gleichung $10-2\cdot (3x-5)^2 = (2-4x)\cdot (x+6)$ gelöst werden. Bevor die Lösungsformel verwendet werden kann, muss die Gleichung in die Form $ax^2+bx+c=0$ gebracht werden: $$10-2\cdot (3x-5)^2 = (2-4x)\cdot (x+6)$$ $$10-2\cdot (9x^2-30x+25)=2x+12-4x^2-24x$$ $$10-18x^2+60x-50=2x+12-4x^2-24x$$ $$-14x^2+82x-52=0$$ Optional kann als nächstes durch 2 dividiert werden, damit die Koeffizienten kleiner werden (dieser Schritt könnte auch weggelassen werden): $$-7x^2+41x-26=0$$ Jetzt wird in die Lösungsformel eingesetzt: \begin{equation} x=\frac{-41\pm \sqrt{41^2-4\cdot (-7)\cdot (-26)}}{2\cdot (-7)} \end{equation} Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind $x_1\approx 0{,}7235$ und $x_2\approx 5{,}1336$.

Deine Nachricht ist zu lang. Sie darf maximal 1000 Zeichen enthalten.

Spamschutz: Bitte gib den Code 7778 rückwärts in das folgende Textfeld ein.

Klicken Sie auf den untenstehenden Button, um Ihre Nachricht abzusenden.

Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?