Diskriminante

Am Beginn dieses Kurses wurden drei verschiedene Lösungsfälle quadratischer Gleichungen aufgelistet. In diesem Abschnitt wird erläutert, wann diese Fälle eintreten. Entscheidend dafür ist der Term $b^2-4ac$ (jener Term, der bei der großen Lösungsformel unter der Wurzel steht), den man auch als Diskriminante bezeichnet. Diese Bezeichnung leitet sich vom lateinischen Wort discriminare ab, was so viel wie „unterscheiden“ bedeutet. Konkret werden folgende Fälle unterschieden:

• Ist die Diskriminante positiv, so gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
• Ist die Diskriminante null, so gibt es eine einzige reelle Lösung. Betrachtet man die Lösungsformel, so erkennt man, dass im Zähler einmal 0 addiert und einmal 0 subtrahiert wird, was letztendlich zum selben Ergebnis führt.
• Ist die Diskriminante negativ, so gibt es keine reelle Lösung, jedoch zwei zueinander konjugierte komplexe Lösungen. Dies liegt daran, dass in der Lösungsformel die Wurzel einer negativen Zahl auftaucht, welche zu einem imaginären Ergebnis führt.

Beispiel 1

Es soll untersucht werden, wie viele Lösungen die Gleichungen $5x^2-3x+17=0$ und $4x^2+10x-2=0$ besitzen, ohne dabei die Gleichungen zu lösen. Bei der ersten Gleichung lautet die Diskriminante $(-3)^2-4\cdot 5\cdot 17=-331$. Sie ist negativ und daher gibt es zwei komplexe Lösungen, jedoch keine reelle Lösung. Bei der zweiten Gleichung erhält man $10^2-4\cdot 4\cdot (-2)=132$. Weil die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.

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