Kurse
Biquadratische Gleichungen
Eine biquadratische Gleichung ist ein Spezialfall einer quartischen Gleichung (Gleichung mit $x^4$ als größter Potenz). Sie hat die Form $ax^4+bx^2+c=0$. Allgemein sind die Lösungsmethoden für quartische Gleichungen sehr kompliziert. In diesem Fall ist das Bestimmen der Lösungen jedoch relativ einfach. Man geht folgendermaßen vor:
- Man führt die Substitution $x^2\mapsto y$ durch und erhält als neue Gleichung die quadratische Gleichung $ay^2+by+c=0$.
- Diese Gleichung kann nun mit den oben beschriebenen Methoden gelöst werden.
- Da $y=x^2$ gilt, müssen anschließend die Wurzeln der Lösungen der quadratischen Gleichung berechnet werden. Achtung: Nicht die negative Wurzel vergessen!
Beispiel 1
Es sollen alle Lösungen der folgenden Gleichung bestimmt werden: $2x^4-26x^2 +72=0$
- Zunächst wird die Substitution $y=x^2$ durchgeführt. Die Gleichung lautet somit $2y^2- 26y+72=0$. Die biquadratische Gleichung wurde auf eine quadratische Gleichung reduziert.
- Diese quadratische Gleichung wird mittels Lösungsformel gelöst. Man erhält $y_{1,2}= \frac{26\pm \sqrt{ (-26)^2 -4\cdot 2\cdot 72 }}{2\cdot 2 } \Rightarrow y_1 = 9, y_2 = 4$.
- Abschließend müssen aus den Lösungen für $y$ mittels Rücksubstitution die Lösungen für $x$ berechnet werden. Es gilt $x=\pm \sqrt{y}$. Die Lösungsmenge ist daher $\{ 3, -3, 2, -2 \}$.
Beispiel 2
Es sollen alle Lösungen der Gleichung $3x^4-222x^2+3675=0$ bestimmt werden.
Im ersten Schritt wird $x^2$ durch die neue Variable $y$ ersetzt. Man erhält die quadratische Gleichung $3y^2-222y+3675=0$. Die Lösungen dieser Gleichung lauten $y_1=49$ und $y_2=25$.
Durch Wurzelziehen dieser Lösungen erhält man schließlich die Lösungen der ursprünglichen biquadratischen Gleichung. Diese lauten $x_{1,2}=\pm \sqrt{49}=\pm 7$ und $x_{3,4}=\pm \sqrt{25}=\pm 5$.
Kursende erreicht
Feedback
Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?
© 2016 – 2025 MATHE.ZONE