Eine quadratische Gleichung hat allgemein die folgende Form: $$ax^2+bx+c=0$$ Dabei sind $a$, $b$ und $c$ reelle Zahlen mit der Bedingung $a\neq 0$. Man bezeichnet $ax^2$ als quadratisches Glied, $bx$ als lineares Glied und $c$ als Absolutglied. Die Zahl $a$ wird Leitkoeffizient genannt. Wenn $a=1$ erfüllt ist, spricht man von einer normierten quadratischen Gleichung bzw. von einer quadratischen Gleichung in Normalform. Man verwendet in diesem Fall für die Koeffizienten häufig die Bezeichnungen $p$ und $q$, wodurch die Gleichung dann $x^2+px+q=0$ lautet. Man kann jede quadratische Gleichung in Normalform bringen, indem man sie durch den Leitkoeffizienten $a$ dividiert. Beispiel: $3x^2+6x-18=0 \,\Rightarrow \, x^2+2x-6=0$

Aufgabe 1

Ermittle die Normalform der folgenden Gleichungen.

1. $5x^2+25x-125=0$
2. $-3x^2+8x-28=0$
3. $\frac{1}{2}x^2+4x-\frac{1}{3}=0$

Eine quadratische Gleichung kann folgende Lösungsfälle aufweisen:

• zwei reelle Lösungen
• eine einzige reelle Lösung
• keine reelle Lösung (zwei zueinander konjugierte komplexe Lösungen)

Die Lösungen werden dabei häufig mit $x_1$ und $x_2$ bezeichnet. Darüber hinaus ist auch die Schreibweise $x_{1,2}$ gebräuchlich, um beide Lösungen gleichzeitig anzusprechen. Im folgenden Kapitel werden zunächst einige Spezialfälle behandelt, für welche die Lösungen mit gewöhnlichen Äquivalenzumformungen berechnet werden können. Anschließend werden allgemeine Lösungsverfahren erläutert.

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