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Sigma-Umgebung
Unter einer Sigma-Umgebung versteht man ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall, dessen Grenzen ein Vielfaches der Standardabweichung (also $1\sigma,~2\sigma,~3\sigma,~$...) vom Erwartungswert entfernt sind. Ein paar Beispiele dafür sind unten abgebildet:
Die Werte von $\mu$ und $\sigma$ spielen dabei keine Rolle. Beispielsweise befinden sich innerhalb einer $2\sigma$-Umgebung immer ca. 95,45 % aller Werte, egal welchen Wert $\mu$ und $\sigma$ haben. Man kann diese Anteile erhalten, indem man sich für $\mu$ und $\sigma$ möglichst einfache Zahlen ausdenkt (z. B. $\mu = 100$ und $\sigma =10$). Anschließend berechnet man, welcher Anteil sich zwischen den entsprechenden Grenzen befindet (z. B. zwischen den Grenzen 90 und 110 für eine $1\sigma$-Umgebung).



Aufgabe 1
Löse die folgende Aufgabe: 9@normalverteilung
Beispiel 1
Die $2\sigma$-Umgebung der Masse der Packungen eines bestimmten Abfüllprozesses entspricht dem Intervall $[19{,}5; 20{,}1]$ kg. Es soll berechnet werden, welcher Anteil der abgefüllten Packungen schwerer als 20 kg ist.
Zunächst müssen $\mu$ und $\sigma$ ermittelt werden. Der Erwartungswert befindet sich in der Mitte der Sigma-Umgebung. Diese erhält man durch folgende Rechnung:
$$\mu = \frac{19{,}5+20{,}1}{2} = 19{,}8\,\textrm{kg}$$
Der Abstand zwischen Erwartungswert und den Intervallgrenzen beträgt 0,3 kg und entspricht der doppelten Standardabweichung ($2\sigma$). Daraus folgt, dass $\sigma$ den Wert 0,15 kg besitzt. Zuletzt wird mittels GeoGebra-Wahrscheinlichkeitsrechner die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet (4. Symbol).
Es haben 9,121 % der Packungen eine Masse über 20 kg.

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