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Teilerfremde Zahlen
Man nennt zwei Zahlen teilerfremd, wenn sie außer 1 keinen gemeinsamen Teiler besitzen, d. h. ihr größter gemeinsamer Teiler ist 1. Es gelten die folgenden Eigenschaften:
- Zwei unterschiedliche Primzahlen sind immer teilerfremd.
- Zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind immer teilerfremd.
Herleitung
Dass unterschiedliche Primzahlen teilerfremd sind ist klar, da deren einziger und somit auch größter gemeinsamer Teiler 1 ist.
Nun wird noch begründet, warum aufeinanderfolgende Zahlen teilerfremd sind. Angenommen, die Zahl $k$ ist ein gemeinsamer Teiler der aufeinanderfolgenden Zahlen $n$ und $n+1$, also $k\mid n$ und $k\mid (n+1)$. Dann muss die Zahl $k$ auch deren Differenz, also die Zahl 1, teilen. Die einzige Zahl, die 1 teilt, ist 1 selbst. Daher ist der größte gemeinsame Teiler von zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen $n$ und $n+1$ die Zahl 1.
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