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Lösungsfälle
Die linearen Gleichungssysteme aus den Beispielen des vorherigen Kapitels besaßen jeweils genau eine Lösung. Man konnte diese graphisch als Schnittpunkt der Geraden ablesen. Es gibt jedoch auch Fälle, bei denen es keine eindeutige Lösung gibt. Insgesamt unterscheidet man die folgenden drei Lösungsfälle:
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Genau eine Lösung: Die Geraden haben einen eindeutigen Schnittpunkt.
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Keine Lösung: Die Geraden haben keinen Schnittpunkt, weil sie parallel zueinander sind.
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Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind deckungsgleich und haben somit unendlich viele Schnittpunkte.
Aufgabe 1
Löse die folgenden drei Gleichungssysteme graphisch.
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I: $b-a=1$
II: $a=2b-4$ -
I: $y=1-x$
II: $x+y=-2$ -
I: $x_2=2x_1+1$
II: $3x_2-3=6x_1$
Für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen ist es relativ einfach, bereits anhand der Angabe zu erkennen, wie viele Lösungen es gibt. Dazu geht man je nach Form des Gleichungssystems unterschiedlich vor. In den folgenden beiden Abschnitten wird darauf eingegangen.
Normalform
Liegt das lineare Gleichungssystem in Normalform vor, so hat es folgende Grundstruktur:
\begin{align*}
[1]&~~ y=k_1x+d_1\\
[2]&~~ y=k_2x+d_2
\end{align*}
Es ergeben sich folgende Fälle:
- Sind die Steigungen verschieden, also $k_1\neq k_2$, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung (weil die Geraden einander irgendwo schneiden).
- Sind die Steigungen gleich, also $k_1=k_2$, aber die Ordinatenabschnitte verschieden, also $d_1\neq d_2$, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung (weil die Geraden parallel verlaufen, jedoch vertikal zueinander verschoben sind).
- Sind die Steigungen und die Ordinatenabschnitte gleich, also $k_1=k_2$ und $d_1= d_2$, dann besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen (weil die Geraden deckungsgleich sind). Jeder Punkt der Gerade ist eine Lösung des Gleichungssystems.
Allgemeine Form
Ist das lineare Gleichungssystem in allgemeiner Form gegeben, so hat es folgende Grundstruktur:
\begin{align*}
[1]&~~ a_1x+b_1y=c_1\\
[2]&~~ a_2x+b_2y=c_2
\end{align*}
Auch hier gibt es drei Fälle:
- Sind die linken Seiten der beiden Gleichungen keine Vielfachen voneinander, so gibt es immer eine eindeutige Lösung. Formal ausgedrückt bedeutet dies, dass $\frac{a_1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2}$ gelten muss.
- Sind die linken Seiten Vielfache voneinander, aber die Gleichungen insgesamt nicht, so gibt es keine Lösung. Beispielsweise kann es keine Zahlen $x$ und $y$ geben, für die $x+y=1$ und $2x+2y=3$ gilt. Formal ausgedrückt bedeutet dies, dass $\frac{a_1}{b_2}= \frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}$ gelten muss.
- Sind die gesamten Gleichungen Vielfache voneinander, so gibt es unendlich viele Lösungen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass jede beliebige Zahlenkombination automatisch eine Lösung des Gleichungssystems ist. In diesem Kapitel wird näher darauf eingegangen, wie die Lösungsmenge angegeben wird, wenn es unendlich viele Lösungen gibt. Man nennt die Gleichungen in diesem Fall linear abhängig. Formal ausgedrückt bedeutet dies, dass $\frac{a_1}{b_2}= \frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2}$ gelten muss.
Beispiel 1
Es ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
\begin{align}
[1]&~~ 3x_1+4x_2=1\\
[2]&~~ 6x_1+8x_2=2
\end{align}
Es soll ermittelt werden, wie viele Lösungen dieses Gleichungssystem besitzt, ohne es tatsächlich zu lösen. Anschließend sollen möglichst wenige Koeffizienten geändert werden, sodass die beiden anderen Lösungsfälle eintreten.
Man erkennt, dass die zweite Gleichung genau das Doppelte der ersten Gleichung ist. Somit besitzt dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
Um zu erreichen, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, muss lediglich auf der rechten Seite eine der beiden Zahlen geändert werden. Dadurch sind zwar weiterhin die linken Seiten Vielfache voneinander, die gesamten Gleichungen jedoch nicht mehr. Ein mögliches Beispiel wäre folgendes Gleichungssystem:
\begin{align}
[1]&~~ 3x_1+4x_2=1\\
[2]&~~ 6x_1+8x_2=\mathbf{5}
\end{align}
Möchte man hingegen sicherstellen, dass es genau eine Lösung gibt, so dürfen die linken Seiten keine Vielfachen voneinander sein. Dies kann man erreichen, indem man einen beliebigen Koeffizienten der linken Seite ändert. Nachfolgend ein mögliches Beispiel:
\begin{align}
[1]&~~ 3x_1+\mathbf{5}x_2=1\\
[2]&~~ 6x_1+8x_2=2
\end{align}
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