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Grundlagen
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, welche eine oder mehrere Variablen in erster Potenz enthält (also ohne Exponent, ohne Wurzel, nicht im Nenner eines Bruches, ...). Auch das Produkt von Variablen darf nicht enthalten sein. Ein Beispiel einer linearen Gleichung ist folgende Gleichung:
\begin{equation*}
2a+5b+3c~=~7
\end{equation*}
Diese Gleichung ist lösbar. Beispielsweise erfüllt $(a,b,c)=(1,1,0)$ diese Gleichung, denn $2\cdot 1+5\cdot 1+3\cdot 0=7$. Sie ist jedoch nicht eindeutig lösbar, denn auch $(a,b,c)=(0,2,-1)$ ist eine Lösung. Darüber hinaus gibt es unendlich viele weitere Lösungen. Um mehrere Variablen eindeutig zu bestimmen, benötigt man mehr Informationen und somit mehr Gleichungen – ein sogenanntes Gleichungssystem.
Werden mehrere lineare Gleichungen zusammengefasst, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen ist Folgendes:
\begin{align*}
[1]&~~ 2a+5b+3c=7\\
[2]&~~ a-3b+2c=10\\
[3]&~~ 3a+2b-2c=5
\end{align*}
Lösung eines Gleichungssystems
Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eine Zahlenkombination, welche jede einzelne Gleichung erfüllt. Dazu setzt man für die gegebenen Variablen die Lösungswerte ein und überprüft, ob dadurch bei jeder Gleichung beide Seiten übereinstimmen.
Beispiel 1
Es soll überprüft werden, ob $(a,b,c)=(3,-1,2)$ eine Lösung des folgenden Gleichungssystems ist.
\begin{align}
[1]&~~ 2a+5b+3c=7\\
[2]&~~ a-3b+2c=10\\
[3]&~~ 3a+2b-2c=5
\end{align}
Setzt man die vorgegebene Zahlenkombination in die drei Gleichungen ein, so erhält man folgende Resultate:
\begin{align}
[1]&~~ 2\cdot 3+5\cdot (-1)+3\cdot 2=7\\
[2]&~~ 3-3 \cdot (-1)+2\cdot 2=10\\
[3]&~~ 3\cdot 3+2 \cdot (-1)-2\cdot 2 = 3\neq 5
\end{align}
Die ersten beiden Gleichungen sind zwar erfüllt, die dritte Gleichung jedoch nicht. Somit ist $(a,b,c)=(3,-1,2)$ keine Lösung dieses Gleichungssystems.
Anzahl an Gleichungen
Um ein lineares Gleichungssystem mit $n$ Variablen eindeutig lösen zu können, benötigt man $n$ linear unabhängige Gleichungen, wobei „linear unabhängig“ bedeutet, dass man eine Gleichung nicht durch Kombinieren der anderen Gleichungen erzeugen kann. Hat man weniger als $n$ linear unabhängige Gleichungen, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
Beispiel 2
Es ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
\begin{align}
[1]&~~ 2x+y=5\\
[2]&~~ y+2z=3\\
[3]&~~ 2x+2y+2z=8
\end{align}
Auf den ersten Blick wirkt es so, als hätte man mit drei Gleichungen genügend Informationen, um die drei Variablen eindeutig zu bestimmen. Bei näherer Betrachtung erkennt man jedoch, dass Gleichung 3 der Summe der ersten beiden Gleichungen entspricht. Auf der linken Seite erhält man aus $(2x+y)+(y+2z)$ den Term $2x+2y+2z$ und auf der rechten Seite erhält man $5+3=8$.
Gleichung 3 ist somit nicht linear unabhängig von Gleichung 1 und Gleichung 2. Daher gibt es keine eindeutige Lösung für dieses Gleichungssystem.
Darstellungsformen
Zwar gibt es keine genormte Struktur für die korrekte Angabe eines linearen Gleichungssystems. Jedoch gibt es zwei Darstellungsformen, welche weit verbreitet sind, da viele Lösungsmethoden darauf aufbauen:
- Allgemeine Form: Befinden sich alle Variablen auf einer Seite und die Zahl auf der anderen Seite, so spricht man von der allgemeinen Form. Diese hat folgende Grundstruktur: \begin{align} [1]&~~ a_1x+b_1y=c_1\\ [2]&~~ a_2x+b_2y=c_2 \end{align}
- Normalform: Werden hingegen alle Gleichungen so umgeformt, dass jeweils dieselbe Variable auf einer Seite steht, und alle anderen Variablen und Zahlen auf der anderen Seite, so spricht man von der Normalform. Ihre Grundstruktur sieht folgendermaßen aus: \begin{align} [1]&~~ y=k_1x+d_1\\ [2]&~~ y=k_2x+d_2 \end{align}
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