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Umkehrfunktion
In diesem Kapitel wird anhand eines konkreten Beispiels auf Umkehrfunktionen von linearen Funktionen eingegangen. Die allgemeinen Grundlagen zu dieser Thematik können in diesem Kapitel nachgelesen werden.
Beispiel 1
Die Funktion $h(t)=7-0{,}5t$ beschreibt die Höhe einer ursprünglich 7 Zentimeter hohen abbrennenden Kerze nach $t$ Stunden. Mit dieser Funktion kann folgende Frage beantwortet werden:
      Wie hoch ist die Kerze nach 3 Stunden? Man erhält $h(3)=7-0{,}5\cdot 3 = 5{,}5\,$cm.
Man kann die Fragestellung jedoch auch umdrehen:
      Nach wie vielen Stunden hat die Kerze eine Höhe von 3 cm?
Der Unterschied liegt darin, dass nun die unabhängige Variable nicht die Zeit ist, sondern die Höhe. Man benötigt also die sogenannte Umkehrfunktion. Um diese Umkehrfunktion zu bestimmen, fasst man die gegebene Funktion als lineare Gleichung in zwei Variablen auf. Die Klammer wird dabei weggelassen (sie ist ja nicht Teil der Gleichung, sondern legt nur fest, was die unabhängige Variable der Funktion ist).
      Ansatz: $h=7-0{,}5t$
Diese Gleichung wird jetzt nach $t$ umgeformt und erneut als Funktion interpretiert. Das Ergebnis ist: $t(h)=14-2h$. Die Antwort auf die Frage, wann die Kerze nur noch 3 cm hoch ist, lautet also $h(3)=14-2\cdot 3=8\,$h.
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion.
  1. $p(n)=54+18n$
  2. $h(t)=12-2t$
  3. $y(x)=\tfrac{2}{3}x-\tfrac{1}{2}$
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