In diesem Kapitel geht es darum, zu überprüfen, ob eine Information (Liste von Punkten, Tabelle, Funktionsgleichung) einen linearen Zusammenhang besitzt. Damit ein linearer Zusammenhang besteht, müssen alle Punkte auf einer Gerade liegen. Das bedeutet, dass die Steigung zwischen allen Punkten gleich sein muss. Man setzt daher der Reihe nach jeweils zwei aufeinanderfolgende Punkte in die Formel $k=\frac{y_2 -y_1}{x_2-x_1}$ ein. Falls alle Ergebnisse gleich sind, ist der Zusammenhang linear, sonst nicht.

Beispiel 1

Es sind die folgenden Punkte gegeben: $A(2\mid 3), ~B(6\mid 9), ~C(8\mid 13)$ $$k_1 = \frac{9-3}{6-2} = 1{,}5$$ $$k_2 = \frac{13-9}{8-6} = 2$$ Da die Steigungen nicht gleich sind, handelt es sich bei den drei vorgegebenen Punkten um keinen linearen Zusammenhang.

Bei manchen Aufgaben sind die $x$- und $y$-Werte in Form einer Tabelle vorgegeben. Dies ist im Wesentlichen identisch mit dem oben beschriebenen Szenario. Man interpretiert die zusammengehörenden $x$- und $y$-Werte als Punkt und berechnet die Steigungen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten.

Beispiel 2

Es ist folgende Tabelle gegeben: a) Zeige, dass die ersten drei Zeilen der Tabelle einem linearen Zusammenhang entsprechen. Zunächst werden mittels der Formel $k=\frac{y_2 -y_1}{x_2-x_1}$ die Steigungen zwischen Zeile 1 und 2 sowie zwischen Zeile 2 und 3 berechnet: $$k_1 = \frac{9-15}{1-(-2)} = -2$$ $$k_2 = \frac{5-9}{3-1} = -2$$ Da die Steigungen gleich sind, handelt es sich bei den ersten drei Zeilen um einen linearen Zusammenhang. b) Ergänze die zwei fehlenden Einträge der Tabelle, sodass der lineare Zusammenhang erhalten bleibt. Aus Aufgabe a) ist bereits die Steigung bekannt. Für die fehlenden beiden Tabelleneinträge ist es zunächst sinnvoll, den Ordinatenabschnitt $d$ zu ermitteln, indem man in die Grundgleichung $y=k\cdot x + d$ einsetzt. Dazu kann eine beliebige vollständige Zeile, beispielsweise Zeile 2 mit $x=1$ und $y=9$, verwendet werden. Man erhält $9=-2\cdot 1+d \Rightarrow d=11$. Somit lautet die Funktionsgleichung $f(x)=-2x+11$. Setzt man nun $x=8$ in diese Funktionsgleichung ein, so erhält man für den ersten der beiden fehlenden Werte $f(8)=-2\cdot 8+11=-5$. Den fehlenden Wert in der letzten Zeile erhält man, indem man für den Funktionswert $12$ einsetzt und die Gleichung nach $x$ auflöst: $12=-2x+11\Rightarrow x=-0{,}5$.

Es gibt auch Aufgaben, bei denen überprüft werden soll, ob eine vorgegebene Funktionsgleichung einer linearen Funktion entspricht, also in der Form $f(x)=k\cdot x+d$ dargestellt werden kann. Häufige Ausschlusskriterien sind, dass die unabhängige Variable – also jene Variable, die in Klammer steht – eine der folgenden Bedingungen erfüllt:

• Die unabhängige Variable steht im Nenner eines Bruches.
• Die unabhängige Variable steht unter einer Wurzel.
• Die unabhängige Variable hat einen Exponent.
• Die unabhängige befindet sich innerhalb einer Funktion.

Beispiel 3

Es soll überprüft werden, ob die folgenden Funktionsgleichung einem linearen Zusammenhang entsprechen:

1. $f(x)=\frac{3x-5}{2}$
   Diese Funktionsgleichung kann zu $f(x)=1{,}5x-2{,}5$ umgeformt werden und entspricht somit der Form $f(x)=k\cdot x+d$. Es liegt also einer linearer Zusammenhang vor.
2. $f(x)=\frac{5-3x}{2+4x}$
   Hierbei handelt es sich um keine linerare Funktion, da die unabhängige Variable auch im Nenner vorkommt.
3. $f(x)=7x$
   Hier fehlt zwar der konstante Summand, weshalb die Funktionsgleichung nicht exakt die Form $f(x)=k\cdot x+d$ hat. Man kann sie jedoch auch als $f(x)=7x+0$ anschreiben, wodurch der lineare Zusammenhang klar ersichtlich ist.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob es sich um einen linearen Zusammenhang handelt.

1. $I(U)=\frac{U}{R}$
   Lösung: anzeigen linearer Zusammenhang, denn die Funktionsgleichung könnte geschrieben werden als $I(U)=\frac{1}{R}\cdot U + 0$ und entspricht somit der Grundform $f(x)=k\cdot x+d$ einklappen
2. $I(R)=\frac{U}{R}$
   Lösung: anzeigen kein linearer Zusammenhang, denn die unabhängige Variable steht im Nenner einklappen
3. $A(c)=\frac{a+c}{2}\cdot h$
   Lösung: anzeigen linearer Zusammenhang, denn die Funktionsgleichung kann folgendermaßen umgeformt werden und erfüllt danach die Grundform $f(x)=k\cdot x+d$: $$A(c)=\frac{a}{2}\cdot h+\frac{c}{2}\cdot h = \underbrace{\frac{h}{2}}_{k}\cdot \underbrace{c}_{x} + \underbrace{\frac{a\cdot h}{2}}_{d}$$ einklappen

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